Freier Fall mit Luftwiderstand
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Ein Körper fällt unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft. Zusätzlich wirkt ein Luftwiderstand der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist. Der Luftwiderstand ist gegeben durch sscFL frac c_w rho A v^. Gib die Geschwindigkeit des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit an.
Solution:
Aus Newtons zweitem Gesetz erhält man: ma F sscFG - sscFL mg - sscFL mg - frac rho A c_w v^ Dies führt auf folge Differentialgleichung m fracdd vdd t mg - frac rho A c_w v^ welche mit Separation der Variablen gelöst werden kann: fracmmg - frac rho A c_w v^ dd v dd t fracmmg left-fracc_w rho Amgv^right dd v dd t frac-av^ dd v g dd t Mit der Definition a:fracc_w rho Amg kann man nun eine Substitution machen: frac-sqrtav^ dd v g dd t frac-tilde v^ fracsqrta ddtilde v gt + C' fracsqrta textartanhlefttilde vright gt + C' textartanhleftsqrta vright sqrtagt + C sqrta v texttanhleftsqrtagt + Cright v fracsqrta texttanhleftsqrtagt + Cright Wenn der Fallschirmspringer die Endgeschwindigkeit erreicht also nicht mehr schneller wird und damit die Beschleunigung verschwindet was formal ma mg - frac rho A c_w sscvE^ &mustbe heisst folgt für diese Endgeschwindigkeit sscvE fracc_w rho Amg fracsqrta weshalb man die Lösung als v sscvE texttanhleftfracgsscvEt + Cright schreiben kann. Mit der Bedingung v_ vt folgt ausserdem C weshalb die Lösung für die Geschwindigkeitsfunktion v sscvE texttanhleftfracgsscvEtright ist.
Ein Körper fällt unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft. Zusätzlich wirkt ein Luftwiderstand der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist. Der Luftwiderstand ist gegeben durch sscFL frac c_w rho A v^. Gib die Geschwindigkeit des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit an.
Solution:
Aus Newtons zweitem Gesetz erhält man: ma F sscFG - sscFL mg - sscFL mg - frac rho A c_w v^ Dies führt auf folge Differentialgleichung m fracdd vdd t mg - frac rho A c_w v^ welche mit Separation der Variablen gelöst werden kann: fracmmg - frac rho A c_w v^ dd v dd t fracmmg left-fracc_w rho Amgv^right dd v dd t frac-av^ dd v g dd t Mit der Definition a:fracc_w rho Amg kann man nun eine Substitution machen: frac-sqrtav^ dd v g dd t frac-tilde v^ fracsqrta ddtilde v gt + C' fracsqrta textartanhlefttilde vright gt + C' textartanhleftsqrta vright sqrtagt + C sqrta v texttanhleftsqrtagt + Cright v fracsqrta texttanhleftsqrtagt + Cright Wenn der Fallschirmspringer die Endgeschwindigkeit erreicht also nicht mehr schneller wird und damit die Beschleunigung verschwindet was formal ma mg - frac rho A c_w sscvE^ &mustbe heisst folgt für diese Endgeschwindigkeit sscvE fracc_w rho Amg fracsqrta weshalb man die Lösung als v sscvE texttanhleftfracgsscvEt + Cright schreiben kann. Mit der Bedingung v_ vt folgt ausserdem C weshalb die Lösung für die Geschwindigkeitsfunktion v sscvE texttanhleftfracgsscvEtright ist.