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Exercise:
Seien DE subseteq mathbbR Teilmengen und sei x_ in D ein Häufungspunkt. Sei f:D rightarrow E eine bei x_ differenzierbare Funktion s.d. y_ fx_ ein Häufungspunkt von E ist und sei g:E rightarrow mathbbR eine bei y_ differenzierbare Funktion. Dann ist g circ f: D rightarrow mathbbR in x_ differenzierbar und g circ f'x_ g'fx_f'x_

Solution:
Beweis. Umformulierung: fx fx_+f'x_x-x_+epsilon_fxx-x_ wobei epsilon_f auf D durch cases fracfx-fx_x-x_-f'x_quad textfalls x in Dbackslash x_ textfalls x x_cases für alle x in D gegeben ist und bei x_ stetig ist. Ebenso gilt gy gy_+g'y_y-y_+epsilon_gyy-y_ wobei die bei y_ stetige Funktion epsilon_g auf E durch cases fracgy-gy_y-y_-g'y_quad textfalls y in Ebackslash y_ textfalls y y_cases für alle y in E gegeben ist. Zusammen ergibt sich durch Einsetzen von yfx gfx gfx_+g'fx_fx-fx_+epsilon_gfxfx-fx_ gfx_+g'fx_f'x_x-x_+g'fx_epsilon_fx+epsilon_gfxf'x_+epsilon_fxx-x_ für alle x in D womit lim limits_x rightarrow x_ fracgcirc fx-gcirc fx_x-x_ lim limits_x rightarrow x_ g'fx_f'x_+g'fx_epsilon_fx+epsilon_gfxf'x_+epsilon_fx g'fx_f'x_ wie gewünscht.
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Exercise:
Seien DE subseteq mathbbR Teilmengen und sei x_ in D ein Häufungspunkt. Sei f:D rightarrow E eine bei x_ differenzierbare Funktion s.d. y_ fx_ ein Häufungspunkt von E ist und sei g:E rightarrow mathbbR eine bei y_ differenzierbare Funktion. Dann ist g circ f: D rightarrow mathbbR in x_ differenzierbar und g circ f'x_ g'fx_f'x_

Solution:
Beweis. Umformulierung: fx fx_+f'x_x-x_+epsilon_fxx-x_ wobei epsilon_f auf D durch cases fracfx-fx_x-x_-f'x_quad textfalls x in Dbackslash x_ textfalls x x_cases für alle x in D gegeben ist und bei x_ stetig ist. Ebenso gilt gy gy_+g'y_y-y_+epsilon_gyy-y_ wobei die bei y_ stetige Funktion epsilon_g auf E durch cases fracgy-gy_y-y_-g'y_quad textfalls y in Ebackslash y_ textfalls y y_cases für alle y in E gegeben ist. Zusammen ergibt sich durch Einsetzen von yfx gfx gfx_+g'fx_fx-fx_+epsilon_gfxfx-fx_ gfx_+g'fx_f'x_x-x_+g'fx_epsilon_fx+epsilon_gfxf'x_+epsilon_fxx-x_ für alle x in D womit lim limits_x rightarrow x_ fracgcirc fx-gcirc fx_x-x_ lim limits_x rightarrow x_ g'fx_f'x_+g'fx_epsilon_fx+epsilon_gfxf'x_+epsilon_fx g'fx_f'x_ wie gewünscht.
Contained in these collections
Attributes & Decorations
Topic
Tags
analysis, beweis, differenzierbarkeit, eth, hs22, kettenregel, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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