Exercise:
textbfUlteriori problemi di massimo e minimo abclist abc Suddividi il numero in due parti positive in modo tale che la somma del quadrato della prima e del cubo della seconda sia minima. nprvminipagec.linewidth abc Da un foglio di carta A times .sicm viene ritagliato un parallelogrammo nel modo indicato dal disegno.Quanto deve misurare x affinché l'area del parallelogrammo ritagliato sia minima? minipage minipagec.linewidth center tikzpicturescale. tkzDefPos//A //B /./C /./D .//E /./F ././G /./H tkzDrawPolygonABCD tkzDrawPolygonfillblack!EFGH tkzLabelSegmentbelowAEx tkzLabelSegmentrightBFx tkzLabelSegmentaboveCGx tkzLabelSegmentleftDHx tikzpicture center minipage minipagec.linewidth abc Si vuole costruire un canale d'irrigazione a forma di trapezio isoscele con la base minore e i lati obliqui che misurano a. v. disegno a lato Quanto deve misurare x affinché la sezione area del trapezio sia massima? minipage minipagec.linewidth center tikzpicturescale. tkzDefPos//AA /-./B /-./C //E tkzInterLCAAEBCtkzGetFirstPoA tkzInterLCAAECBtkzGetSecondPoD tkzDrawPolygonABCD tkzDrawSegmentstyledashedEB tkzLabelSegmentaboveAEx tkzLabelSegmentbelow leftABa tkzLabelSegmentbelowBCa tkzLabelSegmentbelow rightCDa tikzpicture center minipage abclist

Solution:
abclist abc Se la prima parte è x la seconda è -x dunque la funzione è Sx-x^+x^qquad xinleftright. dove abbiamo scelto x^ e non -x^ per semplicità nel derivare. Ora abbiamo che la derivata è S'x-x -+x^x^+x- dunque otteniamo gli estremi locali xfrac-pmsqrtfrac-pmimplies xinleft-frac right di cui solo xfrac è accettabile. Confrontiamo ora i tre valori otteno: arrayc | c c c x & & frac & hline Sx& num & num.& num array Dunque il valore di mezzo è il minimo. abc L'area del parallelogrammo è data dall'area del rettangolo meno i quattro triangoli dunque mathcalAx .- fracx -x- fracx .-xx^-.x+.qquad xinleftright. Dunque il potenziale minimo è nel vertice ossia in x-frac-. .. Siccome è nell'ervallo è così il minimo globale della funzione. abc L'area del trapezio è data da Base maggiore + Base minore times Altezza div dunque con Pitagora: mathcalA_axfraca+x+a sqrta^-x^a+xsqrta^-x^qquad xinleftaright. Deriviamo la funzione rispetto a x otteno mathcalA'_axsqrta^-x^+a+xfrac-xsqrta^-x^fraca^-x^-xa+xsqrta^-x^frac-x^-ax+a^sqrta^-x^ Gli zeri della derivata sono le x per le quali -x^-ax+a^iff xfracapmsqrta^+a^-fracapm a-implies xin left-afracaright dunque l'unico estremo erno all'ervallo è xa/ e quindi confrontando i valori otteniamo arrayc | c c c x & & a/ & a hline mathcalA_ax& a^ & fracsqrt a^& array dunque si tratta nuovamente del punto tra i due. abclist