Exercise:
Ein Lichtstrahl treffe im Abstand r parallel zur Äquatorialebene eines kugelförmigen Wassertropfens Brechungsindex n mit Radius R auf diesen Tropfen. Wie stark wird der Lichtstrahl aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt?

Solution:
enumerate %%% item bf Einfallswinkel Falls der Lichtstrahl im Abstand r zur Äquatorialebene auf den Wassertropfen trifft so beträgt der Einfallswinkel zwischen der Grenzfläche Luft/Wasser grün eingezeichnet alpha_ arcsinfracrR. center tikzpicture scopeyscal % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Äquatorialebene drawdotted --- noderight scriptsize Äquatorialebene; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA foreach P in OA node at Pcirclefillinner seppt; % optische Achse einfaller Strahl drawdashed O--+-aedX:*R; % Winkel alpha_ filldrawcolorgreen fillgreen!!white O---. arc :-aedX:. -- cycle; filldrawcolorgreen fillgreen!!white A---R*cosasinr/R-.r arc :-aedX:. -- cycle; nodecolorgreen Aw at A+-aedX/:. scriptsize alpha_; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; drawcolorblack -latex -.---.r nodemidway left r; % theoretisch weiterlaufer Strahl drawdashed colorred A--A+; scope tikzpicture center %%% item bf Brechung des einfallen Strahles Aufgrund des Snellius'schen Brechungsgesetzes n sinalpha_ sinalpha_ fracrR wird dieser Strahl um alpha_ arcsinfracrnR gegen die optische Achse gebrochen womit der Strahl aus seiner ursprünglichen Bewegungsrichtung um delta_ alpha_-alpha_ arcsinfracrR - arcsinfracrnR abgelenkt wird. %%%% SKIZZE %%% center tikzpicture scopeyscal % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB foreach P in OAB node at Pcirclefillinner seppt; % optische Achse einfaller Strahl drawdashed O--+-aedX:*R; % Winkel alpha_ filldrawcolorgreen fillgreen!!white A---R*cosasinr/R-.r arc :-aedX:. -- cycle; nodecolorgreen Aw at A+-aedX/:. scriptsize alpha_; % Winkel alpha_ filldrawcolorgreen fillgreen!!white A-- A+-aedX:. arc-aedX:-aedX+azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Az at A+-aedX+azdX/:. scriptsize alpha_; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; % ablenkwinkel filldrawcoloryellow fillyellow!!white A--A+. arc :-aedX-azdX:.--cycle; node at A+-aedX-azdX/:. scriptsize delta_; % theoretisch weiterlaufer Strahl drawdashed colorred A--A+; % erstgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick A--B; drawcolorred dashed B--B+-aedX+azdX:; scope tikzpicture center %%% item bf Reflexion des Strahles im Tropfen Der Lichtstrahl innerhalb des Wassertropfens wird nun an der Grenzfläche Wasser/Luft reflektiert. Ein Teil tritt natürlich auch aus dem Tropfen heraus in die Luft über und wird dort gebrochen aber dieser Anteil eresiert uns nicht. Gemäss Reflexionsgesetz ist der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel womit man folge Skizze erhält: %%%% SKIZZE %%% center tikzpicture scopeyscal % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB tkzDefPoR*cosd-*azdX+aedX-R*sind-*azdX+aedXC foreach P in OABC node at Pcirclefillinner seppt; % optische Achsen drawdashed O--A; drawdashed O--B+*azdX-aedX:.; % gleichschenkliges Dreieck herlegen filldrawwhite opacity. --A--B--cycle; % Winkel alpha_ filldrawcolorgreen fillgreen!!white A-- A+-aedX:. arc-aedX:-aedX+azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Az at A+-aedX+azdX/:. tiny alpha_; % Winkel alpha_ als Reflexionswinkel filldrawcolorgreen fillgreen!!white B-- B+-dddX:. arc-dddX:-dddX-azdX:. -- cycle; filldrawcolorgreen fillgreen!!white B-- B+-dddX-azdX:. arc-dddX-azdX:-dddX-*azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Ba at B+-dddX-.*azdX:. tiny alpha_; nodecolorgreen Bb at B+-dddX-.*azdX:. tiny alpha_; % alpha_ ausserhalb des Tropfens filldrawcolorgreen fillgreen!!white B-- B+*azdX-aedX:. arc*azdX-aedX:*azdX-aedX-azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Bc at B+*azdX-aedX-azdX/:. tiny alpha_; % ablenkwinkel delta filldrawcoloryellow fillyellow!!white opacity. B--B+*azdX-aedX-azdX:. arc *azdX-aedX-azdX:*azdX-aedX-azdX-+*azdX:.--cycle; node at B+*azdX-aedX-azdX-+azdX:. scriptsize delta_; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; % erstgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick A--B; % weiterlaufer Lichtstrahl ab B drawcolorred dashed B--B+-aedX+azdX:; % zweitgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick B--C; % weiterlaufer Lichtstrahl ab C drawcolorred dashed C--C+-dddX:.; scope tikzpicture center Aus der Skizze wird relativ einfach ersichtlich dass der Strahl innerhalb des Tropfens durch die Reflexion um delta_ pi - alpha_ pi - arcsinfracrnR aus seiner Richtung abgelenkt wird. %%%% SKIZZE %%% item textbfNochmals reflektierter Strahl Wir eressieren uns nun für den Lichtstrahl der innerhalb des Tropfens ein zweites Mal reflektiert wird. Dabei wird er um delta_ pi-alpha_ aus seiner Richtung abgelenkt. center tikzpicture scopeyscal % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB tkzDefPoR*cosd-*azdX+aedX-R*sind-*azdX+aedXC tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXD foreach P in OABCD node at Pcirclefillinner seppt; % gleichschenkliges Dreieck herlegen filldrawwhite opacity. --B--C--cycle; % optische Achsen drawdashed O--B; drawdashed O--C; % Winkel alpha_ als Reflexionswinkel filldrawcolorgreen fillgreen!!white B-- B+-dddX:. arc-dddX:-dddX-azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Ba at B+-dddX-.*azdX:. tiny alpha_; % Winkel alpha_ als Erittswinkel bei C filldrawcolorgreen fillgreen!!white C-- C+-dddX:. arc-dddX:-dddX+azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Ca at C+-dddX+azdX/:. tiny alpha_; % Winkel alpha_ als Reflexionswinkel bei C filldrawcolorgreen fillgreen!!white C-- C+-dddX+azdX:. arc-dddX+azdX:-dddX+*azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Ca at C+-dddX+.*azdX:. tiny alpha_; % ablenkwinkel delta filldrawcoloryellow fillyellow!!white opacity. C--C+-dddX:. arc -dddX:-dddX--*azdX:.--cycle; node at C+-dddX--*azdX/:. scriptsize delta_; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; % erstgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick A--B; % weiterlaufer Lichtstrahl ab B drawcolorred dashed B--B+-aedX+azdX:; % erstreflektierter Lichtstrahl in B drawcolorred thick B--C; % weiterlaufer Lichtstrahl ab C drawcolorred dashed C--C+-dddX:; % zweitreflektierter Lichtstrahl in C drawcolorred thick C--D; drawcolorred dashed D--D+-dddX+*azdX:; scope tikzpicture center %%%% SKIZZE %%% item textbfBrechung beim Austritt Beim Austritt aus dem Tropfen wird der Strahl nun gebrochen. Da die Situation dieselbe ist wie im zweiten Schritt gilt unverändert das Snellius'sche Brechungsgesetz n sinalpha_ sinalpha_ fracrR und der Strahl tritt unter dem Winkel alpha_ zur optischen Achse aus dem Wasser in die Luft über. Mit einer ähnlichen Argumentation wie im zweiten Schritt kann man sehen dass der reflektierte Strahl dabei um den Winkel delta_ delta_ alpha_-alpha_ abgelenkt wird. center tikzpicture scopeyscal % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB tkzDefPoR*cosd-*azdX+aedX-R*sind-*azdX+aedXC tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXD foreach P in OABCD node at Pcirclefillinner seppt; % gleichschenkliges Dreieck herlegen filldrawwhite opacity. --C--D--cycle; % optische Achsen drawdashed O--C; drawdashed O--D--D+*azdX-aedX:; % Winkel alpha_ als Reflexionswinkel bei C filldrawcolorgreen fillgreen!!white C-- C+-dddX+azdX:. arc-dddX+azdX:-dddX+*azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Ca at C+-dddX+.*azdX:. tiny alpha_; % Winkel alpha_ bei D filldrawcolorgreen fillgreen!!white D-- D+*azdX-aedX-:. arc*azdX-aedX-:*azdX-aedX--azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Da at D+*azdX-aedX--azdX/:. tiny alpha_; % Winkel alpha_ bei D filldrawcolorgreen fillgreen!!white D-- D+*azdX-aedX:. arc*azdX-aedX:*azdX-aedX-aedX:. -- cycle; nodecolorgreen Da at D+*azdX-aedX-aedX/:. tiny alpha_; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; % erstgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick A--B; % erstreflektierter Lichtstrahl in B drawcolorred thick B--C; % zweitreflektierter Lichtstrahl in C drawcolorred thick C--D; drawcolorred dashed D--D+-dddX+*azdX:; % austreter Strahl bei D drawcolorred thick D--D+*azdX-aedX-aedX:.; scope tikzpicture center %%% SKIZZE item textbfAblenkwinkel Insgesamt wurde der in den Tropfen erete Strahl auf seinem Weg durch den Tropfen um delta delta_ + delta_ + delta_ + delta_ alpha_-alpha_ + pi-alpha_ + pi-alpha_ + alpha_-alpha_ pi+alpha_-alpha_ pi+ arcsinfracrR-arcsinfracrnR aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt. center tikzpicture scopeyscal % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB tkzDefPoR*cosd-*azdX+aedX-R*sind-*azdX+aedXC tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXD SolQtyL r-R*sind*azdX-aedX /sind*azdX-*aedX tkzDefPo R*cosd*azdX-aedX+LX*cosd*azdX-*aedX r S foreach P in OABCDS node at Pcirclefillinner seppt; % totaler ablenkwinkel delta filldrawcoloryellow fillyellow!!white opacity. S--S+. arc :--*azdX-*aedX:.--cycle; node at S+--*azdX-*aedX/:. scriptsize delta; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; % erstgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick A--B; % erstreflektierter Lichtstrahl in B drawcolorred thick B--C; % zweitreflektierter Lichtstrahl in C drawcolorred thick C--D; % austreter Strahl bei D drawcolorred thick D--D+*azdX-aedX-aedX:.; scope tikzpicture center Dieser Ablenkwinkel delta hängt vom Abstand des Lichtstrahls zur Äquatorialebene r ab. Man nennt r auch den Stossparameter. Der Graph der Funktion deltar sieht folgermassen aus: center tikzpicture axis domain:samples xmin xmax. ymin ymax axis linescenter anchororiginxcmy.cm gridboth xlabelr ylabeldelta axis line stylegreen!!black x label stylecolorgreen!!black right latex xticklabel stylegreen!!black y label stylecolorgreen!!black above latex yticklabel stylegreen!!black addplotred +*asinx-*asinx/.; addplotmark* colorblue coordinates ..; axis tikzpicture center Die Ableitung von deltar ist delta'r fracRsqrt-fracr^R^ - fracnRsqrt-fracr^n^R^ wobei verwet wurde dass fracddddx arcsinx fracsqrt-x^. Die Nullstelle von deltar ist da wo delta'r: delta'r &mustbe fracsqrt-fracr^R^ fracnsqrt-fracr^n^R^ -fracr^R^ fracn^ - fracn^ fracr^n^R^ frac fracr^R^-fracr^R^ fracn^ - r^- r^ n^R^ - R^ r^ -n^R^ r sqrtfrac-n^R . deltar .rad .degree item textbfSichtwinkel zum Regenbogen Als Betrachter eines Regenbogens sieht man also den Nebenregenbogen unter einem Winkel von gamma delta-pi &approx .degree zu den Sonnenstrahlen. Anders gesprochen: Blickt man in Richtung der Sonnenstrahlen und dann um den Winkel gamma enqoutenach oben so sieht man dort den Nebenregenbogen. enumerate