Exercise:
textbfTeorema fondamentale del calcolo egrale --- FToC Ricordiamo che il FToC dice che _a^bftdtFb-Fa dove F è tale che F'f. In altre parole enuncia che derivazione e egrazione sono operazioni inverse una all'altra. Interpretando questo risultato in funzione di b possiamo definire funzioni in modo implicito: Fx_x_^xftdt ossia funzioni che ad ogni valore di x associano l'egrale da x_ a x della funzione f. Calcolare il valore di queste funzioni o la loro forma esplicita non è banale in quanto corrisponde a calcolare l'egrale ma la loro derivata è semplicemente f. abclist abc Determina il valore di x in modo che _^xfract^-t+t^dt-lnleftfracxright. abc Determina in forma esplicita displaystyle Fx_^xtsinte^tdt abc Determina gli estremi locali delle funzioni e classificali Fx_^xt^-tdtqquad Gx_^xlnt^-tdt abc Calcola la serie di Taylor della funzione errore in x_ operatornameerfx : fracsqrtpi_^x e^-t^mathrm dt textbfSuggerimento: il termine costante fracsqrtpi può essere semplicemente mettolo in evidenza e sfrutta la serie di Taylor di e^t già nota. abc Determina k tale che _^tfrackcosxdxfrac abclist

Solution:
abclist abc Abbiamo che * _^xfract^-t+t^dt_^x-fract+fract^dt t-ln|t|-fractBig|^x_ x-ln|x|-fracx-+ln x-fracx--lnleftfracxright. * da cui * x-fracx--lnleftfracxright-lnleftfracxright x-fracx- x^-x- x+x- x&inleft-tfracright. * Ma siccome x deve essere positivo l'unica soluzione accettata è x. abc Si tratta di fare alcune egrazioni per parti nelle quali per praticità * Fx_^xtsinte^tdtxsinxe^x-_^xsint+tcoste^tdt xsinxe^x-_^xsint+tcoste^tdt * abc Deriviamo e poniamo la derivata uguale a dopodiché investighiamo la seconda derivata: * Fx_^xt^-tdt F'xx^-x F''xx^- * Dunque F'xiff x^-xiff xx^-iff xin -. Insero questi nella seconda derivata notiamo che otteniamo i segni dunque è un massimo mentre - dei minimi. Analogamente * Gx_^xlnt^-tdt G'xlnx^-xlnx^-x & textitil viene dalla derivata erna di x G''x frac-xx-x^. * Dunque G'xiff lnx^-xiff x^-xiff x^-x-iff x_pmfracpmsqrt Solo la soluzione con il + è nel dominio e per questa vediamo che la seconda derivata è quindi si tratta di un minimo. abc Di per sé avremmo due alternative: itemize item Sfruttando la serie di Taylor di e^t e egrando ogni termine item Determinando una formula esplicita per l'n-esima derivata itemize Il problema è che il secondo metodo diventa estremamente complesso footnotehttps://mathworld.wolfram.com/Erf.html dunque sostanzialmente infeasible per i nostri scopi liceali. Come prima cosa notiamo che operatornameerf questo ci permetterà di fissare la costante della primitiva a . Ora notiamo che e^t_ngeq fract^nn!implies e^-t^_ngeq frac-^nt^nn! e quindi * operatornameerfx : fracsqrtpi_^x e^-t^mathrm dtfracsqrtpi_^x_ngeq frac-^nt^nn!dtfracsqrtpi_ngeq _^xfrac-^nt^nn!dtfracsqrtpi_n^inftyfrac-^nx^n+n+n!. * Dove in realtà il passaggio di scambio di egrale e serie è legittimo solo perché la serie converge per qualsiasi valore di t. abc In modo relativamente semplice vediamo che _^tfrackcosxdxsinxBig|^k/_sinlefttfrackrightfraciff frackarcsinlefttfracright+npiquad ninmathbbZ. abclist