Exercise:
Auf einem kleinen Teich befindet sich bereits eine dzO dicke Eisschicht. Die Aussentemperatur beträgt TaO und es ist anzunehmen dass es im Wasser keine Ströme gibt. Eis hat rO Dichte lamO Wärmeleitfähigkeit und LfO Schmelzwärme. Wie lange dauert es bis die Eisschicht deO stark ist?

Solution:
Die Wärme welche durch die Eisschicht abgeführt werden muss entspricht der Erstarrungswärme von Wasser zu Eis Q_f m L_f . Wir nehmen dabei in guter Näherung an dass das noch flüssige Wasser welches sich im Teich direkt unter der Eisschicht befindet nur noch gefroren und nicht weiter abgekühlt werden muss: fracddQddt fraclambdax A Delta T fracddddt m L_f fraclambdax A Delta T fracddddt rho V L_f fraclambdax A Delta T fracddddt rho Ax L_f fraclambdax A Delta T fracddxddt fraclambdaxrho L_f Delta T Diese letzte Gleichung gibt für jede aktuelle Eisdicke x die Geschwindigkeit fracddxddt an mit welcher die Dicke der Eisschicht gerade jetzt zunimmt; oder anders gesprochen: Wie stark sich ihre Dicke in dem Moment verändert. Für die in der Aufgabe angegebene Anfangsdicke von dzO beträgt diese Geschwindigkeit: fracddxddt fraclambdaxrho L_f Delta T fraclamdz r Lf dT v vhQ Im ersten Moment wird die Eisschicht des Teiches also mit rund vhQ anwachsen; die Geschwindigkeit nimmt aber mit der Zeit ab. Die obige Differentialgleichung lässt sich mittels Separation lösen: fracddxddt fraclambdaxrho L_f Delta T fracrho L_fDelta T lambda x ddx ddt _^tau ddt _x_^x_ fracrho L_f lambda Delta T x ddx tau _x_^x_ fracrho L_f lambda Delta T x ddx fracrho L_f lambda Delta T _x_^x_ x ddx fracrho L_f lambda Delta T leftfracx^right_x_^x_ fracr Lflam dT frac leftqtyde^-qtydz^right T approx TdP tau fracrho L_f lambda Delta T leftx_^-x_^right TS TdP