Zylinder auf schiefer Ebene
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The following quantities appear in the problem:
Winkelbeschleunigung \(\alpha\) / Trägheitsmoment \(J, \Theta, I\) / Energie \(E\) / Winkel \(\theta\) / Radius \(r\) / Ortsfaktor \(g\) / Höhe \(h\) / Geschwindigkeit \(v\) / Länge \(\ell\) / Zeit \(t\) / Winkelgeschwindigkeit / Kreisfrequenz \(\omega\) / Kraft \(F\) / Drehmoment \(\vec M\) / Masse \(m\) /
The following formulas must be used to solve the exercise:
\(v = r \omega \quad \) \(\gamma = \dfrac{\alpha}{2}t^2+\omega_0 t + \gamma_0 \quad \) \(\omega = \alpha t + \omega_0 \quad \) \(M = J\alpha \quad \) \(\vec M = \vec \ell \times \vec F \quad \) \(\sum E_{\scriptscriptstyle\rm tot} \stackrel{!}{=} \sum E_{\scriptscriptstyle\rm tot}' \quad \) \(E_{\rm \scriptscriptstyle kin} = \dfrac12 mv^2 \quad \) \(E_{\rm \scriptscriptstyle pot} = mgh \quad \) \(E = \frac12 J\omega^2 \quad \) \(J_a = J_s + mr^2 \quad \) \(F_\parallel = F_G \cdot \sin\alpha \quad \) \(J = mr^2 \quad \) \(J = \frac12 mr^2 \quad \) \(b = r \theta \quad \)
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Exercise:
Man berechne mit Hilfe des Energiesatzes die Endgeschwindigkeit eines dünnwandigen Hohlzylinders welcher längs einer schiefen Ebene der Höhe h hinunterrollt.
Solution:
Aufgrund des Energieerhaltungssatzes gilt Erot &mustbe Epot fracJomega^ mgh frac mr^+mr^ fracv^r^ mgh frac mr^ fracv^r^ mgh v sqrtgh Achtung: Das Trägheitsmoment eines dünnwandigen Hohlzylinders ist zwar mr^ das gilt jedoch für eine Drehachse durch sein Zentrum! Wenn er eine schiefe Ebene hinunterrollt ist die Drehachse auf seiner Wand es muss also mit Steiner der Betrag mr^ dazugerechnet werden!
Man berechne mit Hilfe des Energiesatzes die Endgeschwindigkeit eines dünnwandigen Hohlzylinders welcher längs einer schiefen Ebene der Höhe h hinunterrollt.
Solution:
Aufgrund des Energieerhaltungssatzes gilt Erot &mustbe Epot fracJomega^ mgh frac mr^+mr^ fracv^r^ mgh frac mr^ fracv^r^ mgh v sqrtgh Achtung: Das Trägheitsmoment eines dünnwandigen Hohlzylinders ist zwar mr^ das gilt jedoch für eine Drehachse durch sein Zentrum! Wenn er eine schiefe Ebene hinunterrollt ist die Drehachse auf seiner Wand es muss also mit Steiner der Betrag mr^ dazugerechnet werden!