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Exercise:
Determina la primitiva di fracx^+a^dx utilizzando i numeri complessi.

Solution:
fracx-ia^dxfracialnleftleft|fracx-aix+airight|right+C Consideriamo ora zfracx-aix+ai Notiamo subito che siccome xain mathbbR |z|frac|x-ai||x+ai|fracsqrtx^+a^sqrtx^+a^ mentre siccome argleftfracw_w_rightargw_-argw_ e arga+biarctanleftfracbaright otteniamo argzargx-ai-argx+ai-arctanleftfracaxright-arctanleftfracaxright-arctanleftfracaxright e dunque pono lnzln|z|e^iargziargz+ ln|z| così che ln|z|ln il risultato è lnz-iarctanleftfracaxright. e così fracx-ia^dxfracialnleftleft|fracx-aix+airight|right+Cfracialeft-iarctanleftfracaxrightright+C-fracaarctanleftfracaxright+C e infine possiamo correggere il segno - in quanto arctany+arctanleftfracyrightfracpi e quindi inglobare il -tfracpi nella costante. fracx^+a^dx-fracaarctanleftfracaxright+Cfracaarctanleftfracxaright+underbracefracpia+C_equiv Cfracaarctanleftfracxaright+C.
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Determina la primitiva di fracx^+a^dx utilizzando i numeri complessi.

Solution:
fracx-ia^dxfracialnleftleft|fracx-aix+airight|right+C Consideriamo ora zfracx-aix+ai Notiamo subito che siccome xain mathbbR |z|frac|x-ai||x+ai|fracsqrtx^+a^sqrtx^+a^ mentre siccome argleftfracw_w_rightargw_-argw_ e arga+biarctanleftfracbaright otteniamo argzargx-ai-argx+ai-arctanleftfracaxright-arctanleftfracaxright-arctanleftfracaxright e dunque pono lnzln|z|e^iargziargz+ ln|z| così che ln|z|ln il risultato è lnz-iarctanleftfracaxright. e così fracx-ia^dxfracialnleftleft|fracx-aix+airight|right+Cfracialeft-iarctanleftfracaxrightright+C-fracaarctanleftfracaxright+C e infine possiamo correggere il segno - in quanto arctany+arctanleftfracyrightfracpi e quindi inglobare il -tfracpi nella costante. fracx^+a^dx-fracaarctanleftfracaxright+Cfracaarctanleftfracxaright+underbracefracpia+C_equiv Cfracaarctanleftfracxaright+C.
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Attributes & Decorations
Tags
Calcolo integrale, Fratti semplici
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
ITA (Italiano)
Type
Calculative / Quantity
Decoration
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