Exercise:
Determina la superficie dell'area colorata in grigio nelle seguenti figure center tikzpicture axisxcmycm axis linesmiddle enlargelimitsfalse axis line styleshorten -pt shorten -pt xlabel styleanchorwest atticklabel* cs:. xshiftpt ylabel styleanchorsouth atticklabel* cs:. yshiftpt xlabel x ylabel y xmin-. xmax. ymin-. ymax. ytick-... xtick-... major tick lengthpt every tick/.style semithick fillfillblackfill opacity.line width ptsmoothsamplesdomain: plotxcosx*pi/ r -- -- -- cycle; fillfillwhiteline width ptsmoothsamplesdomain: plotxcosx*pi/ r^ -- -- -- cycle; fillfillblackfill opacity.line width ptsmoothsamplesdomain-: plotxcosx*pi/ r -- -- - -- cycle; fillfillwhiteline width ptsmoothsamplesdomain-: plotxcosx*pi/ r^ -- -- - -- cycle; draw- -- ; draw- -- ; drawline width ptsmoothsamplesdomain-: plotxcosx*pi/ r; drawline width ptsmoothsamplesdomain-: plotxcosx*pi/ r^; draw . node ycosx; draw . node ycos^x; axis tikzpicture qquad tikzpicture axisx.cmy.cm axis linesmiddle enlargelimitsfalse axis line styleshorten -pt shorten -pt xlabel styleanchorwest atticklabel* cs:. xshiftpt ylabel styleanchorsouth atticklabel* cs:. yshiftpt xlabel x ylabel y xmin-. xmax. ymin-. ymax. ytick-... xtick-... major tick lengthpt every tick/.style semithick fillfillblackfill opacity.line width ptsmoothsamplesdomain: plotxx^ -- plotxsqrtx; fillfillblackfill opacity.line width ptsmoothsamplesdomain: plot-xx^ -- plot-xsqrtx; fillfillblackfill opacity.line width ptsmoothsamplesdomain: plot-x-x^ -- plot-x-sqrtx; fillfillblackfill opacity.line width ptsmoothsamplesdomain: plotx-x^ -- plotx-sqrtx; drawblack!line widthpt-- -- ; drawblack!line widthpt- -- -; drawline width ptsmoothsamplesdomain-: plotxx^; drawline width ptsmoothsamplesdomain-: plotx-x^; drawline width ptsmoothsamplesdomain-: plotx^x; drawline width ptsmoothsamplesdomain-: plot-x^x; draw .. node rightyx^; draw .. node xy^; axis tikzpicture center

Solution:
Risolviamo prima la figura di sinistra e poi quella di destra. Per la prima notiamo che le due funzioni si ersecano per x e xfracpi e che la parte nel secondo quadrante è simmetrica a quella nel primo. Per ottenere l'area possiamo possiamo come prima cosa calcolare la primitiva di cos^x che si può ottenere tramite egrazione per parti come nell'esercizio a: * cos^xdx cosx cos^xdx sinxcos^x+ cosxsin^xdx sinxcos^x+ cosx-cos^xdx sinxcos^x+sinx- cos^xdx * da cui cos^xdxfracsinxcos^x+sinx+C e l'area è dunque: * _^pi/cosx-cos^xdxleftsinx-fracsinxcos^x+sinxBig|_^pi/rightleft-fracrightfrac * textbfAlternativa rapida: è possibile calcolare la primitiva dell'era funzione tramite la tecnica dell'esercizio riconosco l'identità trigonometrica -cos^xsin^x: cosx-cos^xdx cosx-cos^xdx cosxsin^xdxfracsin^x+C Per il secondo notiamo invece che si tratta di petali congruenti e che la funzine che descrive il bordo superiore del petalo nel primo quadrante è ysqrtx mentre quella inferiore è yx^. I punti d'ersezione tra le due sono in x e x. L'area totale è dunque data da: _^sqrtx-x^leftfrac x^/-fracx^Big|_^rightfrac.