Exercise:
Determina le primitive delle seguenti funzioni tramite egrazione per parti: abcmulti abc sin^xdx abc ln^xdx abc x^e^xdx abc xsqrtx+dx abc x^sinxdx abc cos^xdx abcmulti

Solution:
abclist abc In modo del tutto analogo all'esercizio otteniamo * sin^xdx sinx sin^xdx -cosxsin^x+ cosxsinxcosxdx -cosxsin^x+sinxcos^xdx tagstar -cosxsin^x+sinx-sin^xdx -cosxsin^x+sinxdx-sin^xdx -cosxsin^x-cosx-sin^xdx * da cui spostando -sin^xdx a sinistra e divido per otteniamo sin^xdxfrac-cosxsin^x-cosx+C. textbfIn alternativa: al passaggio star o già in partenza sfruttando sin^xdx sinx-cos^xdx-cosx- sinxcos^xdx notiamo che questo è un caso di f^f' e quindi la primitiva è facilmente calcolabile sinxcos^xdx-fraccos^x+C e dunque l'egrale completo diventa sin^xdx-cosxsin^x-fraccos^x+C textbfIn alternativa: possiamo sfruttare l'identità sinxsinx-sin^xiff sin^xfracsinx-sinx da cui sin^xdxfracsinx-sinxdxfrac-cosx+fraccosx+C. abc In questo caso si può procedere in due modi * ln^xdx ln^xdx xln^x- xlnx fracxdx xln^x- lnxdx xln^x-xlnx-x+C xln^x-lnx++C. * oppure * ln^xdx lnx lnxdx xlnx-x lnx-xlnx-x fracxdx xlnx-x lnx-lnx-dx xlnx-x lnx-xlnx-x-x+C xln^x-lnx++C * Entrambi confermano il risultato ottenuto nella serie precedente. abc Simile all'esempio della dispensa: * x^e^xdxx^frace^x- xfrace^xdx fracx^e^x-leftxfrace^x- frace^xright fracx^e^x-fracxe^x+frace^x e^x leftfracx^-fracx+fracright+C. * abc Integriamo forse un po' sorprentemente la radice e deriviamo la x: * xsqrtx+dxx fracx+^/- fracx+^/dx fracx x+^/-frac fracx+^/+C fracx x+^/-fracx+^/+C. * abc Simile a quello della dispensa ma egrando per parti due volte: * x^sinxdx-x^cosx+ xcosxdx -x^cosx+xsinx- sinxdx -x^cosx+xsinx+cosx+C * abc Simile al primo ma forse più tedioso: * cos^xdx cosx cos^xdx sinxcos^x+sinxcos^xsinxdx sinxcos^x+cos^x-cos^xdx sinxcos^x+cos^xdx-cos^xdx sinxcos^x+cos^xdx-cos^xdx sinxcos^x+x+sinxcosx-cos^xdx * da cui analogamente al caso precente si ottiene cos^xdxfracsinxcos^x+x+sinxcosx+C textbfIn alternativa: possiamo sfruttare l'identità cos x cos^x - cos^x + iff cos^xfraccosx+cos^x- otteniamo cos^xdx fraccosx+cos^x-dxfracsinx+fracx+sinxcosx-fracx+C abclist