Maximale Reichweite allgemeiner Fall
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
Need help? Yes, please!
The following quantities appear in the problem:
Zeit \(t\) / Energie \(E\) / Ortsfaktor \(g\) / Strecke \(s\) / Masse \(m\) / Beschleunigung \(a\) / Höhe \(h\) / Geschwindigkeit \(v\) /
The following formulas must be used to solve the exercise:
\(v = v_0 + at \quad \) \(s = \dfrac{1}{2}at^2+v_0 t \quad \) \(s = \dfrac{v^2-v_0^2}{2a} \quad \) \(\sum E_{\scriptscriptstyle\rm tot} \stackrel{!}{=} \sum E_{\scriptscriptstyle\rm tot}' \quad \) \(s = vt \quad \) \(E_{\rm \scriptscriptstyle kin} = \dfrac12 mv^2 \quad \) \(E_{\rm \scriptscriptstyle pot} = mgh \quad \) \(a^2+b^2=c^2 \quad \)
Exercise:
Mit welchem Abwurfwinkel erreicht man die grösste Reichweite beim Ballweitwurf falls Abwurf- und Auftreffpunkt nicht auf derselben Höhe liegen?
Solution:
Die Flugzeit bis zum Scheitel beträgt t_ fracv_yg fracv_sinalphag jene bis zum Boden egal ob höher oder tiefer aufgrund des Energieerhaltungssatzes: t_ fracv_yg fracg sqrtgh+v_^sin^alpha Die Reichweite ist also: s_xalpha v_x t v_x t_+t_ v_cosalpha leftfracv_sinalphag + fracg sqrtgh+v_^sin^alpharight fracv_^gcosalpha leftsinalpha + sqrtfracghv_^+sin^alpharight tilde salpha cosalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight Man sucht das Maximum dieser Funktion von alpha: fracddddalphas_xalpha &mustbe s_x'alpha cosalphaleftcosalpha + fracsinalphacosalphasqrtkappa+sin^alpharight - sinalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight cos^alphaleft + fracsinalphaLambdaright - sinalpha leftsinalpha + Lambdaright Das führt auf folge Bedingung: &mustbe cos^alphaLambda + sinalpha - Lambda sinalpha sinalpha + Lambda Lambda + sinalphacos^alpha - Lambda sinalpha Nur der zweite Faktor in diesem Produkt kann verschwinden daher gilt für den Winkel: cos^alpha Lambda sinalpha cos^alpha sqrtkappa+sin^alpha sinalpha -sin^alpha^ kappa+sin^alpha sin^alpha sin^alpha leftkappa + right alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ Da ausserdem für die Endgeschwindigkeit v^ v_x^ + v_y^ v_^cos^alpha + gh+v_^sin^alpha v_^ + gh gilt kann man für den Winkel alpha auch alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ arcsinfracv_sqrtv^ + v_^ schreiben. Das heisst also dass v_ eine Kathete und sqrtv^ + v_^ eine Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck sind. Die Anfangsgeschwindigkeit v_ und die Endgeschwindigkeit v bilden also -- falls im Winkel mit der maximalen Reichweite abgeschossen wird -- ein rechtwinkliges Dreieck! Es gilt also tanalpha fracv_v was aber für die Berechnung nicht sonderlich hilfreich ist weil man ja die Endgeschwindigkeit v nicht kennt. Veranschaulicht man die Geschwindigkeitsvektoren in einer Skizze so sieht das so aus: center tikzpicturelatex scope drawcolorgreen!!black dashed ---; coordinate O at ; coordinate A at O+:cm; coordinate B at O+-:.cm; filldrawcolorred fillred!!white --. arc ::.; nodered at :. alpha; filldrawcolorred fillred!!white B--B+. arc ::.; nodered at B+:. alpha; drawred thick - O--A nodemidway above left v_; drawblue thick - O--B nodemidway below left v; drawdashed A--B; draw O circle .cm; draw A circle .cm; draw B circle .cm; scope tikzpicture center
Mit welchem Abwurfwinkel erreicht man die grösste Reichweite beim Ballweitwurf falls Abwurf- und Auftreffpunkt nicht auf derselben Höhe liegen?
Solution:
Die Flugzeit bis zum Scheitel beträgt t_ fracv_yg fracv_sinalphag jene bis zum Boden egal ob höher oder tiefer aufgrund des Energieerhaltungssatzes: t_ fracv_yg fracg sqrtgh+v_^sin^alpha Die Reichweite ist also: s_xalpha v_x t v_x t_+t_ v_cosalpha leftfracv_sinalphag + fracg sqrtgh+v_^sin^alpharight fracv_^gcosalpha leftsinalpha + sqrtfracghv_^+sin^alpharight tilde salpha cosalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight Man sucht das Maximum dieser Funktion von alpha: fracddddalphas_xalpha &mustbe s_x'alpha cosalphaleftcosalpha + fracsinalphacosalphasqrtkappa+sin^alpharight - sinalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight cos^alphaleft + fracsinalphaLambdaright - sinalpha leftsinalpha + Lambdaright Das führt auf folge Bedingung: &mustbe cos^alphaLambda + sinalpha - Lambda sinalpha sinalpha + Lambda Lambda + sinalphacos^alpha - Lambda sinalpha Nur der zweite Faktor in diesem Produkt kann verschwinden daher gilt für den Winkel: cos^alpha Lambda sinalpha cos^alpha sqrtkappa+sin^alpha sinalpha -sin^alpha^ kappa+sin^alpha sin^alpha sin^alpha leftkappa + right alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ Da ausserdem für die Endgeschwindigkeit v^ v_x^ + v_y^ v_^cos^alpha + gh+v_^sin^alpha v_^ + gh gilt kann man für den Winkel alpha auch alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ arcsinfracv_sqrtv^ + v_^ schreiben. Das heisst also dass v_ eine Kathete und sqrtv^ + v_^ eine Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck sind. Die Anfangsgeschwindigkeit v_ und die Endgeschwindigkeit v bilden also -- falls im Winkel mit der maximalen Reichweite abgeschossen wird -- ein rechtwinkliges Dreieck! Es gilt also tanalpha fracv_v was aber für die Berechnung nicht sonderlich hilfreich ist weil man ja die Endgeschwindigkeit v nicht kennt. Veranschaulicht man die Geschwindigkeitsvektoren in einer Skizze so sieht das so aus: center tikzpicturelatex scope drawcolorgreen!!black dashed ---; coordinate O at ; coordinate A at O+:cm; coordinate B at O+-:.cm; filldrawcolorred fillred!!white --. arc ::.; nodered at :. alpha; filldrawcolorred fillred!!white B--B+. arc ::.; nodered at B+:. alpha; drawred thick - O--A nodemidway above left v_; drawblue thick - O--B nodemidway below left v; drawdashed A--B; draw O circle .cm; draw A circle .cm; draw B circle .cm; scope tikzpicture center
Meta Information
Exercise:
Mit welchem Abwurfwinkel erreicht man die grösste Reichweite beim Ballweitwurf falls Abwurf- und Auftreffpunkt nicht auf derselben Höhe liegen?
Solution:
Die Flugzeit bis zum Scheitel beträgt t_ fracv_yg fracv_sinalphag jene bis zum Boden egal ob höher oder tiefer aufgrund des Energieerhaltungssatzes: t_ fracv_yg fracg sqrtgh+v_^sin^alpha Die Reichweite ist also: s_xalpha v_x t v_x t_+t_ v_cosalpha leftfracv_sinalphag + fracg sqrtgh+v_^sin^alpharight fracv_^gcosalpha leftsinalpha + sqrtfracghv_^+sin^alpharight tilde salpha cosalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight Man sucht das Maximum dieser Funktion von alpha: fracddddalphas_xalpha &mustbe s_x'alpha cosalphaleftcosalpha + fracsinalphacosalphasqrtkappa+sin^alpharight - sinalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight cos^alphaleft + fracsinalphaLambdaright - sinalpha leftsinalpha + Lambdaright Das führt auf folge Bedingung: &mustbe cos^alphaLambda + sinalpha - Lambda sinalpha sinalpha + Lambda Lambda + sinalphacos^alpha - Lambda sinalpha Nur der zweite Faktor in diesem Produkt kann verschwinden daher gilt für den Winkel: cos^alpha Lambda sinalpha cos^alpha sqrtkappa+sin^alpha sinalpha -sin^alpha^ kappa+sin^alpha sin^alpha sin^alpha leftkappa + right alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ Da ausserdem für die Endgeschwindigkeit v^ v_x^ + v_y^ v_^cos^alpha + gh+v_^sin^alpha v_^ + gh gilt kann man für den Winkel alpha auch alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ arcsinfracv_sqrtv^ + v_^ schreiben. Das heisst also dass v_ eine Kathete und sqrtv^ + v_^ eine Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck sind. Die Anfangsgeschwindigkeit v_ und die Endgeschwindigkeit v bilden also -- falls im Winkel mit der maximalen Reichweite abgeschossen wird -- ein rechtwinkliges Dreieck! Es gilt also tanalpha fracv_v was aber für die Berechnung nicht sonderlich hilfreich ist weil man ja die Endgeschwindigkeit v nicht kennt. Veranschaulicht man die Geschwindigkeitsvektoren in einer Skizze so sieht das so aus: center tikzpicturelatex scope drawcolorgreen!!black dashed ---; coordinate O at ; coordinate A at O+:cm; coordinate B at O+-:.cm; filldrawcolorred fillred!!white --. arc ::.; nodered at :. alpha; filldrawcolorred fillred!!white B--B+. arc ::.; nodered at B+:. alpha; drawred thick - O--A nodemidway above left v_; drawblue thick - O--B nodemidway below left v; drawdashed A--B; draw O circle .cm; draw A circle .cm; draw B circle .cm; scope tikzpicture center
Mit welchem Abwurfwinkel erreicht man die grösste Reichweite beim Ballweitwurf falls Abwurf- und Auftreffpunkt nicht auf derselben Höhe liegen?
Solution:
Die Flugzeit bis zum Scheitel beträgt t_ fracv_yg fracv_sinalphag jene bis zum Boden egal ob höher oder tiefer aufgrund des Energieerhaltungssatzes: t_ fracv_yg fracg sqrtgh+v_^sin^alpha Die Reichweite ist also: s_xalpha v_x t v_x t_+t_ v_cosalpha leftfracv_sinalphag + fracg sqrtgh+v_^sin^alpharight fracv_^gcosalpha leftsinalpha + sqrtfracghv_^+sin^alpharight tilde salpha cosalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight Man sucht das Maximum dieser Funktion von alpha: fracddddalphas_xalpha &mustbe s_x'alpha cosalphaleftcosalpha + fracsinalphacosalphasqrtkappa+sin^alpharight - sinalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight cos^alphaleft + fracsinalphaLambdaright - sinalpha leftsinalpha + Lambdaright Das führt auf folge Bedingung: &mustbe cos^alphaLambda + sinalpha - Lambda sinalpha sinalpha + Lambda Lambda + sinalphacos^alpha - Lambda sinalpha Nur der zweite Faktor in diesem Produkt kann verschwinden daher gilt für den Winkel: cos^alpha Lambda sinalpha cos^alpha sqrtkappa+sin^alpha sinalpha -sin^alpha^ kappa+sin^alpha sin^alpha sin^alpha leftkappa + right alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ Da ausserdem für die Endgeschwindigkeit v^ v_x^ + v_y^ v_^cos^alpha + gh+v_^sin^alpha v_^ + gh gilt kann man für den Winkel alpha auch alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ arcsinfracv_sqrtv^ + v_^ schreiben. Das heisst also dass v_ eine Kathete und sqrtv^ + v_^ eine Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck sind. Die Anfangsgeschwindigkeit v_ und die Endgeschwindigkeit v bilden also -- falls im Winkel mit der maximalen Reichweite abgeschossen wird -- ein rechtwinkliges Dreieck! Es gilt also tanalpha fracv_v was aber für die Berechnung nicht sonderlich hilfreich ist weil man ja die Endgeschwindigkeit v nicht kennt. Veranschaulicht man die Geschwindigkeitsvektoren in einer Skizze so sieht das so aus: center tikzpicturelatex scope drawcolorgreen!!black dashed ---; coordinate O at ; coordinate A at O+:cm; coordinate B at O+-:.cm; filldrawcolorred fillred!!white --. arc ::.; nodered at :. alpha; filldrawcolorred fillred!!white B--B+. arc ::.; nodered at B+:. alpha; drawred thick - O--A nodemidway above left v_; drawblue thick - O--B nodemidway below left v; drawdashed A--B; draw O circle .cm; draw A circle .cm; draw B circle .cm; scope tikzpicture center
Contained in these collections
-
Maximale Reichweite allgemeiner Fall by TeXercises
-
Schiefer Wurf 1 by uz
| Title | Matched on |
|---|---|
| Maximale Reichweite | tags |
| Geschwindigkeit für bestimmte Höhe | tags |
| Dauer der Wurfbewegung | tags |
| Geschwindigkeit von Projektil | tags |
| Anfangsgeschwindigkeit der Wurfbewegung | tags |