Exercise:
footnoteTratti dalla Serie Analysis I --- ETH --- HS textbfQualche egrale difficile abcmulti abc e^sqrtx+dx abc fracsinx+cosx+tan^xdx abc e^-xcospi xdx abc fracdxsqrtx+sqrtx++ abc fracsqrtx^sqrtx+dx. abc . fraccosxsinx+cosxdx abc . cos^xsinxdx abc . fraccos^xsin^xdx abc . fractanx+tan^xdx abc . fracsqrtx+xdx abc . x^+lnxdx abc . fracx^x^+dx abc . fracx^+x^+dx abcmulti

Solution:
abclist abc e^sqrtx+dx Facciamo la sostituzione usqrtx+ così che xu^-implies dxudu e quindi l'egrale indefinito diventa e^uudu che si risolve con egrazione per parti. abc fracsinx+cosx+tan^xdx Riscriviamo tanxfracsinxcosx e riscriviamo la frazione in modo tale da togliere il cos^ dal ``doppio'' denominatore: * fracsinx+cosx+tan^xdx fracsinx+cosx+fracsin^xcos^xdx fracsinxcos^xcos^x+cos^x+sin^xdx fracsinxcos^xcos^x+dx * Ora notiamo che al numeratore abbiamo salvo per una costante la derivata del denominatore quindi è una derivata logaritmica per l'esattezza fracsinxcos^xcos^x+dxfrac-ln|cos^x+|+C abc Faco due volte egrazione per parti si torna all'egrale originale moltiplicato per una costante... da qui è facile ottenere l'egrale originale. abc fracdxsqrtx+sqrtx++ Sostituo sqrtx+u otteniamo xu^-iff dxudu e quindi l'egrale diventa fracuu+udu fracu+du. e da qui è facile concludere abc fracsqrtx^sqrtx+dx. Notiamo che la radice sesta è la radice comune alle due dunque poniamo usqrtx e così u^xiff u^dudx e da qui l'egrale diventa fracu^u^+u^ du fracu^u^+du Ora fattorizziamo u^+u+u^-u+ e così possiamo riscrivere l'egrale come u^ - u^ + fracfracu - u^ - u + - frac u + + du Il terzo termine va risolto come visto in classe con il completamento del quadrato: frac fracu - u^ - u + dufrac fracu - u-/^ + / dudots abc . Divido numeratore e denomiatore per cos otteniamo fraccosxsinx+cosxdxfractanx+dx Pono utanximplies du+tan^xdxiff frac+u^du otteniamo fractanx+dxfracu+fracu^+du fracAu++fracBu+Cu^+dudots e trovando ABC si risolve come al solito abc . Tecnica f^nf' cos^xsinxdxfraccos^x-+C abc . Usando cos^x-sin^x riscriviamo fraccos^xsin^xdx fraccosxsin^x-fraccosxsin^xdxfracsin^-x--fracsin^-x-+C. dove per entrambi abbiamo usato la tecnica f^nxf'xfracf^n+xn+ abc . Sostituzione tanxu abbastanza chiara come nell'esercizio . fractanx+tan^xdx fracu+u^frac+u^du fracu+u^^dufrac-frac+u^+C dove abbiamo sfruttando la primitiva di fracf'f^ abc . Sostituzione usqrtx+ così che xu^- e dufracsqrtx+dxiff ududx si ottiene fracsqrtx+xdx fracuu^- udu +fracu^-dudots e questo è come al solito abc . Per parti x^+lnxdxleftfracx^+rightlnx- leftfracx^+right fracxdxfracx^+xlnx- fracx^+dxdots abc . Tecnica fracf'f fracx^x^+dxfraclnx^+ abc . Fratti semplici + divisione polinomiale fracx^+x^+dx x+frac-x+x^+dx e ora solito sistema abclist