Exercise:
nprvminipagec.textwidth textbfIl metodo di Steiner Esiste un metodo che permette di disegnare un'ellisse utilizzando solamente l'esezione di rette. textbfv. disegno! Si crea un rettangolo con vertici opposti -a e ab si dividono i lati nello stesso numero segmenti n e si collegano a coppie i punti come illustrato nel disegno: il k-esimo punto contando da zero sulla verticale dal basso con il k-esimo punto sull'orizzontale da destra. minipage minipagec.textwidth tikzpicturexcm ycm tkzInit pgfmathtruncatemacrou pgfmathtruncatemacrox pgfmathtruncatemacroy foreach z in ...u fill z/x circle pt; foreach z in ...u fill z/ yu/x circle pt; foreach z in ...u fill u/ yz/ x circle pt; draw nodebelow V_-a; draw u/y nodebelow V_a; draw u/x+. nodeabove -ab; draw u/yu/x+. nodeabove ab; draw -- u/y; draw decoratedecorationbraceamplitudeptxshift-ptyshiftpt -- u/x node blackmidwayxshift-.cm n; draw decoratedecorationbraceamplitudeptyshiftptxshiftpt u/x -- u/yu/x node blackmidwayyshift.cm n; draw decoratedecorationbraceamplitudeptmirrorxshiftptyshiftpt u/y -- u/y/x node blackmidwayxshift.cm k; draw decoratedecorationbracemirroramplitudeptyshift-ptyshiftpt u/y-/yu/x -- u/yu/x node blackmidwayyshift-.cm k; draw -- u/y/x node midway above r_k; draw u/y -- u/y-/yu/x node midway left s_k; foreach z in ...u fill .*u/y+.*u/y*u*u-z*z/u*u+z*zz*u/x*u/u*u+z*z circle pt; drawopacity. -- u/y/x; drawopacity. u/y -- u/y-/yu/x ; drawopacity. -- u/y/x; drawopacity. u/y -- u/y-/yu/x ; foreach z in ...u draw .*u/y-.*u/y*u*u-z*z/u*u+z*zz*u/x*u/u*u+z*z circle pt; tikzpicture minipage abclist abc Calcola l'equazione della retta r_k per parametri kn generici. textbfConsiglio: calcola la penza e nota che passa da V_. abc Calcola l'equazione della retta s_k per parametri kn generici. textbfConsiglio: calcola la penza e nota che passa da V_ abc Trova ora le coordinate del punto d'ersezione delle due rette. abc Verifica che le coordinate del punto d'ersezione soddisfano l'equazione fracx^a^+fracy^b^ indipentemente da k abclist

Solution:
abclist abc La penza della retta è data da fracDelta yDelta x dunque siccome lo spostamento verticale è frackn b e quello orizzontale a otteniamo fracDelta yDelta xfracbkan. e quindi la retta r_k è data dall'equazione r_kxfracbkanx+a abc In modo analogo al punto precedente abbiamo che lo spostamento verticale è b mentre quello orizzontale -frackna dunque otteniamo fracDelta yDelta x-fracbnak. e quindi la retta r_k è data dall'equazione s_kx-fracbnakx-a. abc Troviamo l'ersezione delle rette eguagliandole: -fracbnak x-afracbkan x+a ossia *-n^x-ak^x+a n^-k^an^+k^x xa fracn^-k^n^+k^ * e inserolo nell'equazione della retta r_k otteniamo yfracbkan lefta fracn^-k^n^+k^+arightfracbkn fracn^n^+k^fracbnkn^+k^ abc Inserole le coordinate ottenute nell'equazione otteniamo * fracx^a^+fracy^b^fracn^-k^^n^+k^^+fracnk^n^+k^^ fracn^-n^k^+k^+n^k^n^+k^^ fracn^+n^k^+k^n^+k^^ fracn^+k^^n^+k^^ * abclist