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Exercise:
Dimostra che frac!+frac!+frac!+frac!+s . textbfSuggerimento: somma e alla serie oppure ricoduci la serie all'espansione di Taylor di e^x.

Solution:
Sappiamo che efrac!+frac!+frac!+frac!+frac!+s. Ora se sommiamo queste due serie otteniamo * S+ephantom+frac!+frac!+::frac!+frac!+frac!+frac!+s &phantom +frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+s phantom+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+s phantom+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+s phantom+frac!+e+e * da cui S textbfIn alternativa: notiamo che la serie ha la forma _n^inftyfracn-n! e sappiamo che e^x_n^inftyfracx^nn!. Ora vediamo che frace^x-x_n^inftyfracx^n-n! così che derivando entrambi i lati fracddxleftfrace^x-xrightfracxe^x-e^x+x^_n^inftyfracn-x^n-n!_n^inftyfracn-x^n-n! dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato che il termine n è . Valutando quest'espressione in x si ottiene: _n^inftyfracn-n! come sperato. textbfIn alternativa ancora: _ngeq fracn-n! _nge fracn-!-_nge fracn! _nge fracn!-_n ge fracn! --.
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Exercise:
Dimostra che frac!+frac!+frac!+frac!+s . textbfSuggerimento: somma e alla serie oppure ricoduci la serie all'espansione di Taylor di e^x.

Solution:
Sappiamo che efrac!+frac!+frac!+frac!+frac!+s. Ora se sommiamo queste due serie otteniamo * S+ephantom+frac!+frac!+::frac!+frac!+frac!+frac!+s &phantom +frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+s phantom+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+s phantom+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+frac!+s phantom+frac!+e+e * da cui S textbfIn alternativa: notiamo che la serie ha la forma _n^inftyfracn-n! e sappiamo che e^x_n^inftyfracx^nn!. Ora vediamo che frace^x-x_n^inftyfracx^n-n! così che derivando entrambi i lati fracddxleftfrace^x-xrightfracxe^x-e^x+x^_n^inftyfracn-x^n-n!_n^inftyfracn-x^n-n! dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato che il termine n è . Valutando quest'espressione in x si ottiene: _n^inftyfracn-n! come sperato. textbfIn alternativa ancora: _ngeq fracn-n! _nge fracn-!-_nge fracn! _nge fracn!-_n ge fracn! --.
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Attributes & Decorations
Tags
Limiti notevoli, Successioni e serie
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
ITA (Italiano)
Type
Proof
Decoration
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