Limiti notevoli 6
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Determina nuovamente il limite lim_nto inftynsinleftfracnright utilizzando la sequenza di poligoni regolari vista in classe ma utilizzando le aree al posto dei perimetri.
Solution:
Usando la trigonometria abbiamo che un triangolo ha area mathcalAfracbcsinalpha dove ab sono i lati che formano l'angolo alpha. Come visto per il caso del perimetro abbiamo che si formano n triangoli il cui angolo al centro è fracpin e due lati lunghi . Ne consegue che l'area di uno dei triangolini che forma il poligono di n lati è fracsinleftfracpinright e quindi l'area totale è mathcalA_nn fracsinleftfracpinright. L'area limite è quella del cerchio di raggio ossia pi. Ne concludiamo dunque che lim_nto inftyn fracsinleftfracpinrightpi e sostituo fracnpimiff npi m otteniamo lim_colorredmto infty colorred pi m fracsinleftfraccolorredmrightpiiff lim_mto infty pi msinleftfracmrightpi da cui per la linearità del limite si legge il limite notevole lim_mto infty sinleftfracmright.
Determina nuovamente il limite lim_nto inftynsinleftfracnright utilizzando la sequenza di poligoni regolari vista in classe ma utilizzando le aree al posto dei perimetri.
Solution:
Usando la trigonometria abbiamo che un triangolo ha area mathcalAfracbcsinalpha dove ab sono i lati che formano l'angolo alpha. Come visto per il caso del perimetro abbiamo che si formano n triangoli il cui angolo al centro è fracpin e due lati lunghi . Ne consegue che l'area di uno dei triangolini che forma il poligono di n lati è fracsinleftfracpinright e quindi l'area totale è mathcalA_nn fracsinleftfracpinright. L'area limite è quella del cerchio di raggio ossia pi. Ne concludiamo dunque che lim_nto inftyn fracsinleftfracpinrightpi e sostituo fracnpimiff npi m otteniamo lim_colorredmto infty colorred pi m fracsinleftfraccolorredmrightpiiff lim_mto infty pi msinleftfracmrightpi da cui per la linearità del limite si legge il limite notevole lim_mto infty sinleftfracmright.