Progressioni aritmetiche e geometriche 6
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Exercise:
Da informazioni a progressioni: abclist abc La somma dei primi tre termini di una progressione geometrica è mentre la somma di tutti gli altri termini è . Determina la progressione geometrica in questione. abc Determina la progressione textbfaritmetica la cui somma dei primi termini è mentre la somma dei primi è . abc Di tre numeri a b c è saputo che: itemize abc abc nell'ordine sono in progressione textbfaritmetica e la loro somma è . abc b c a nell'ordine sono in progressione textbfgeometrica. itemize Determina a b c. abclist
Solution:
abclist abc Se la somma dei primi tre termini è e dei rimanenti è la somma di textbftutti i termini sarà + la somma degli infiniti termini è più facile da calcolare che quella dal terzo in avanti. Creiamo ora un piccolo sistema che risolviamo divido la pirma per la seconda equazione * cases a_frac-q^-q a_frac-q cases cases -q^frac a_frac-q casescases q^frac a_frac-q cases cases qsqrtfracfrac a_-q-/. cases * abc Usando la formula della somma dei primi n termini con a_ e d otteniamo cases a_+d frac a_+d frac casescases a_+d a_+d casescases a_+d d casescasesa_frac dfrac cases abc Se d è la ragione possiamo porre ab-d e cb+d da cui a+b+cb-d+b+b+dbiff b A questo punto sappiamo però ance che se q è la ragione della successione geometrica siccome b abbiamo che cq e aq^ da cui q^++qiff q^+q-iff q+q- Quindi i due risultati possibili sono q o q- da cui leggiamo rispettivamente abc oppure ab e c-. abclist
Da informazioni a progressioni: abclist abc La somma dei primi tre termini di una progressione geometrica è mentre la somma di tutti gli altri termini è . Determina la progressione geometrica in questione. abc Determina la progressione textbfaritmetica la cui somma dei primi termini è mentre la somma dei primi è . abc Di tre numeri a b c è saputo che: itemize abc abc nell'ordine sono in progressione textbfaritmetica e la loro somma è . abc b c a nell'ordine sono in progressione textbfgeometrica. itemize Determina a b c. abclist
Solution:
abclist abc Se la somma dei primi tre termini è e dei rimanenti è la somma di textbftutti i termini sarà + la somma degli infiniti termini è più facile da calcolare che quella dal terzo in avanti. Creiamo ora un piccolo sistema che risolviamo divido la pirma per la seconda equazione * cases a_frac-q^-q a_frac-q cases cases -q^frac a_frac-q casescases q^frac a_frac-q cases cases qsqrtfracfrac a_-q-/. cases * abc Usando la formula della somma dei primi n termini con a_ e d otteniamo cases a_+d frac a_+d frac casescases a_+d a_+d casescases a_+d d casescasesa_frac dfrac cases abc Se d è la ragione possiamo porre ab-d e cb+d da cui a+b+cb-d+b+b+dbiff b A questo punto sappiamo però ance che se q è la ragione della successione geometrica siccome b abbiamo che cq e aq^ da cui q^++qiff q^+q-iff q+q- Quindi i due risultati possibili sono q o q- da cui leggiamo rispettivamente abc oppure ab e c-. abclist