Exercise:
textbfLa quadratura del cerchio. Considera la seguente successione di figure: center tikzpicture pgfmathtruncatemacroradius. foreach k in pgfmathsetmacron.*k+ scopeshiftn pgfmathtruncatemacrolpowk pgfmathtruncatemacror*l- pgfmathtruncatemacrom*l- pgfmathtruncatemacron*l foreach x in ...r pgfmathsetmacroax*/l pgfmathsetmacrobx+*/l ifthenelsexl OR xm AND x ndrawblack! a:radius |- b:radius;drawblack! a:radius -| b:radius; scope pgfmathtruncatemacroradius. foreach k in pgfmathsetmacron.*k scopeshiftn drawdotted circle radius cm; pgfmathtruncatemacrolpowk pgfmathtruncatemacror*l- pgfmathtruncatemacrom*l- pgfmathtruncatemacron*l foreach x in ...r pgfmathsetmacroax*/l pgfmathsetmacrobx+*/l ifthenelsexl OR xm AND x ndraw a:radius |- b:radius;draw a:radius -| b:radius; draw -:. node nk; scope tikzpicture center abclist abc Determina la sequenza delle lunghezze della linee spezzata l_n abc Qual è dunque il limite della lunghezza di questa curva? Come mai è strano? abc Determina la sequenza del numero di segmenti d_n di cui è composta la linea spezzata abc Determina la dimensione frattale della linea limite l abc Dimostra invece che l'area limite è corretta ed equivale all'area del cerchio. abclist

Solution:
abclist abc Siccome ad ogni passaggio pieghiamo semplicemente verso il dentro i vari ``angoli'' della parte precedente la lunghezza del perimetro non cambia e resta sempre costante ossia l_n. abc La linea sembra però tere verso il cerchio dunque il ``perimetro'' limite dovrebbe essere pi ma invece è una stranezza. abc Abbiamo che la sequenza è dots che sembra molto complessa: se però aggiungiamo notiamo che quella risultante è dots che è evidentemente composta dalle potenze di . Dunque la sequenza è d_n ^n- divido la figura nei quattro quadranti si capisce che il - è dovuto al fatto che i segmenti NordSudOvestEst sono contati una sola volta invece di . item Pono thetafracpiN la serie è della forma * _n^N sinnthetacosn+theta-cosnthetafrac_n^N sinn+theta+sinntheta-sintheta frac_nN+^Nsintheta fraccosN+/theta-cosN+/thetasintheta/ - fracsinN+theta/sinNthetasintheta/ - fracsinN+pi/Nsinpi/sinpi/N * dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato l'identità di Lagrange footnotehttps://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Lagrange's_trigonometric_identities abclist