Progressioni geometriche 11
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Exercise:
Considera la seguente spirale composta da infiniti triangoli rettangoli con angolo al centro pari ad alpha e tale che l'ipotenusa del primo triangolo è . Determina come deve venir scelto l'angolo alpha tale che la lunghezza totale della spirale sia sqrt. center tikzpicture tkzDefPoO tkzDefPoA tkzLabelSegmentbelowOA foreach z in ... pgfmathtruncatemacrolz- tkzDefPo*z:Sz tkzDefPoByprojectiononto O--SzAltkzGetPoAz tkzDrawPolygonOAlAz tkzMarkRightAnglefillblackfill opacity.size.AlAzO tkzLabelAnglepos.AlOAzscriptsizealpha tikzpicture center
Solution:
Il primo segmento è il cateto opposto di un triangolo rettangolo di lato e angolo alpha dunque avrà lunghezza sinalpha. Il secondo sarà un triangolo simile con ipotenusa cosalpha data dal cateto adiacente del primo triangolo quindi avrà lunghezza sinalphacosalpha e via dico i successivi hanno sempre lunghezza sinalphacos^nalpha. Si tratta dunque di una progressione geometrica con termine iniziale sinalpha e ragione cosalpha dunque la somma degli infiniti segmenti sarà data da mathcalLfracsinalpha-cosalpha A questo punto sfruttando l'identità tanleftfracalpharightfrac-cosalphasinalpha otteniamo l'equazione sqrtfractanleftfracalpharightifftanleftfracalpharightfracsqrtimplies alpha^circ
Considera la seguente spirale composta da infiniti triangoli rettangoli con angolo al centro pari ad alpha e tale che l'ipotenusa del primo triangolo è . Determina come deve venir scelto l'angolo alpha tale che la lunghezza totale della spirale sia sqrt. center tikzpicture tkzDefPoO tkzDefPoA tkzLabelSegmentbelowOA foreach z in ... pgfmathtruncatemacrolz- tkzDefPo*z:Sz tkzDefPoByprojectiononto O--SzAltkzGetPoAz tkzDrawPolygonOAlAz tkzMarkRightAnglefillblackfill opacity.size.AlAzO tkzLabelAnglepos.AlOAzscriptsizealpha tikzpicture center
Solution:
Il primo segmento è il cateto opposto di un triangolo rettangolo di lato e angolo alpha dunque avrà lunghezza sinalpha. Il secondo sarà un triangolo simile con ipotenusa cosalpha data dal cateto adiacente del primo triangolo quindi avrà lunghezza sinalphacosalpha e via dico i successivi hanno sempre lunghezza sinalphacos^nalpha. Si tratta dunque di una progressione geometrica con termine iniziale sinalpha e ragione cosalpha dunque la somma degli infiniti segmenti sarà data da mathcalLfracsinalpha-cosalpha A questo punto sfruttando l'identità tanleftfracalpharightfrac-cosalphasinalpha otteniamo l'equazione sqrtfractanleftfracalpharightifftanleftfracalpharightfracsqrtimplies alpha^circ