Exercise:
Calcola i seguenti limiti textbfsenza usare la definizionevspac.cm tasks task lim_nto inftyfrac+n task lim_nto inftyfracn-n^+nn^+num task lim_nto inftyleftfracn--nright^ task lim_nto inftyfrac^n+-^n^n--^n task lim_nto inftyleftfracright^fracn^+n- task lim_nto inftyfrac^n-+^n^n- task lim_nto inftysqrtn+-sqrtn task lim_nto inftysqrtn^+n-n task lim_nto inftyfracn+sqrtn^+ task lim_nto infty-^n fracn+n task lim_nto inftyfracsqrtn-nsqrtn+n task small lim_nto inftylogn^-logn+ tasks

Solution:
I primi tre limiti sono limiti di sequenze textbfpolinomiali fratte dunque si risolvono come visto in classe: abclist abc I numeratore ha grado il denominatore dunque il limite è . abc Sia il numeratore che il denomiantore hanno grado . Faco la distributiva otteniamo: lim_nto inftyfracn-n^+nn^+numlim_nto inftyfracn^-n^+n-n^+numnfrac. abc Questo è particolare: senza l'elevato a il limite sarebbe banalmente tfrac-tfrac. L'elevato a fa sì che il limite converga a quello che c'è alla base dell'elevato ma elevato a . Il limite sarà dunque lefttfracright^tfrac. textbfIn alternativa: facciamo la distributiva e vediamo che si tratta di un limite polinomiale fratto con grado sia al numeratore che al denominatore. abc Dividiamo per il termine dominante che è ^n: lim_nto inftyfrac^n+-^n^n--^nlim_nto inftyfrac leftfracright^n-leftfracright^nfrac-leftfracright^nfrac -/-frac/ abc lim_ntoinftyleftfracright^fracn^+n- L'esponente va verso +infty mentre la base è di conseguenza il limite è . abc lim_ntoinftyfrac^n-+^n^n-lim_ntoinftyfracfrac^n+^nfrac^nlim_ntoinftyfracfrac+/^nfracfrac// abc lim_ntoinftysqrtn+-sqrtnlim_ntoinftyfracn+-nsqrtn++sqrtnlim_ntoinftyfracsqrtn++sqrtn abc lim_ntoinftysqrtn^+n-nlim_ntoinftyfracn^+n-n^sqrtn^+n+nlim_ntoinftyfracnsqrtn^+n+nlim_ntoinftyfracsqrt+/n+. abc lim_ntoinftyfracn+sqrtn^+lim_ntoinftyfrac+/nsqrt+/n^fracsqrtfracsqrt. abc -^n fracn+n-^n+ -^nfracn. Il secondo termine te a zero mentre il primo oscilla indefinitamente tra - e . Ciò implica che il limite non esiste! abc lim_ntoinftyfracsqrtn-nsqrtn+nlim_ntoinftyfrac/sqrtn-/sqrtn+frac-- abc Sfruttiamo le regole di calcolo dei logaritmi: lim_nto inftylogn^-logn+lim_nto inftylogn^-logn+^lim_nto inftylogleftfracn^n+^rightlog abclist