Extra 8
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Exercise:
Difficile footnoteTratto da Thomas J. Osler Partial s of series that cannot be an eger The Mathematical Gazette November Vol. No. Dimostra che nessun numero armonico H_n_k^nfrack salvo per n è un numero naturale. abclist abc Dimostra per assurdo che in una sequenza di numeri naturali consecutivi aa+a+dotsb-b esiste solamente un numero la cui potenza di è massima. abc Dimostra che un numero dispari diviso per un numero pari non è mai ero abc Dimostra ora il teorema pro l'MCD e argomentando perché il numeratore risultante deve essere dispari. abclist
Solution:
abclist abc Asiamo che nella sequenza siano presenti due numeri la cui potenza di è massima ossia della forma ^pc e ^pd con p massimo. Allora c e d sono dispari e dunque ffracc+d è un numero pari con cfd. Ne consegue che ^pf sarà anche parte della sequenza e con una potenza di maggiore di p in quando f è pari abc Questo è banale: divide il denominatore ma non il numeratore quindi la frazione non è riducibile. abc Abbiamo che la somma armonica parziale frac+frac+frac+dots+fracn conterrà esattamente un denominatore c con la potenza di massima. Di conseguenza quando facciamo il denominatore comune tutti i numeratori dei numeri diversi da fracc verranno moltiplicati per una potenza positiva di diventando pari mentre il numeratore di c sarà moltiplicato per un numero dispari diventando dispari. Di conseguenza il numeratore che andrà a formarsi sarà la somma di numeri pari ed esattamente un numero dispari dunque sarà dispari. Di conseguenza per il risultato precedente la frazione non darà mai un risultato ero. abclist
Difficile footnoteTratto da Thomas J. Osler Partial s of series that cannot be an eger The Mathematical Gazette November Vol. No. Dimostra che nessun numero armonico H_n_k^nfrack salvo per n è un numero naturale. abclist abc Dimostra per assurdo che in una sequenza di numeri naturali consecutivi aa+a+dotsb-b esiste solamente un numero la cui potenza di è massima. abc Dimostra che un numero dispari diviso per un numero pari non è mai ero abc Dimostra ora il teorema pro l'MCD e argomentando perché il numeratore risultante deve essere dispari. abclist
Solution:
abclist abc Asiamo che nella sequenza siano presenti due numeri la cui potenza di è massima ossia della forma ^pc e ^pd con p massimo. Allora c e d sono dispari e dunque ffracc+d è un numero pari con cfd. Ne consegue che ^pf sarà anche parte della sequenza e con una potenza di maggiore di p in quando f è pari abc Questo è banale: divide il denominatore ma non il numeratore quindi la frazione non è riducibile. abc Abbiamo che la somma armonica parziale frac+frac+frac+dots+fracn conterrà esattamente un denominatore c con la potenza di massima. Di conseguenza quando facciamo il denominatore comune tutti i numeratori dei numeri diversi da fracc verranno moltiplicati per una potenza positiva di diventando pari mentre il numeratore di c sarà moltiplicato per un numero dispari diventando dispari. Di conseguenza il numeratore che andrà a formarsi sarà la somma di numeri pari ed esattamente un numero dispari dunque sarà dispari. Di conseguenza per il risultato precedente la frazione non darà mai un risultato ero. abclist