Exercise:
minipagec.linewidth Una spirale v. figura viene costruita tramite semicirconferenze i cui diametri formano una progressione geometrica di ragione frac primo diametro . abclist abc Quanto è lunga l'era spirale? abc Dopo quanti archi l'n-esimo arco di spirale è più corto di ^-? abc Quale è la coordinata x del centro della spirale? footnotePoni l'origine degli assi nel punto d'inizio. abclist minipage minipagec.linewidth center tikzpicturescale foreach k in ... pgfmathparse/*pow/k letrad pgfmathresult pgfmathparse/-/*pow-/k letcenter pgfmathresult pgfmathparse*pow-k letangle pgfmathresult scopeshiftcenter draw :rad arc :angle:rad; scope tikzpicture center minipage

Solution:
abclist abc Siccome la prima semicirconferenza ha raggio rfrac la sua lunghezza è fracpipi. Il problema dice inoltre che le lunghezze degli archi formano una progressione geometrica di ragione frac quindi la lunghezza totale è Spi frac-fracpi. abc Impostiamo la disequazione: pi leftfracright^n^-iff n-log_/leftfracpirightcong . quindi a partire dal quarantunesimo. abc Poniamo l'origine all'inizio del punto di partenza della spirale. Per arrivare al centro dell'n-esima spirale vediamo che ci spostiamo del primo diametro a destra del secondo a sinistra poi di nuovo a destra e via dico e all'ultimo passaggio ci spostiamo di solo mezzo diametro dunque la sequenza sarà leftfrac -frac frac -frac+fracleftfracright^ -frac+leftfracright^-fracleftfracright^dotsright Dunque si genera una sorta di serie geometrica con un piccolo termine di errore alla fine: * x_nleftfrac-right^+leftfrac-right^+leftfrac-right^+dots+leftfrac-right^n-+fracleftfrac-right^n _k^n-leftfrac-right^k+fracleftfrac-right^n frac--/^n+/+fracleftfrac-right^n frac-fracleftfrac-right^n. * Quindi il punto limite sarà lim_ntoinftyfrac-fracunderbraceleftfrac-right^n_to frac. abclist