Progressioni geometriche 6
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Exercise:
Dimostra che displaystyle _m^infty _n^infty :m^-n
Solution:
Abbiamo che la serie erna è una PG di ragione fracm e termine iniziale fracm^ dunque si ottiene che _n^inftym^-n_n^inftyleftfracmright^nfracm^ frac-fracmfracm^-mfracmm-fracm--fracm. Ora la somma esterna diventa una somma telescopica: _m^infty _n^infty m^-n_m^inftyfracm--fracmfrac-frac+frac-frac+frac-fracs textbfOsservazione: se si ercambiano gli ordini delle somme il risultato diventa particolarmente affascinante: stiamo dico che le somme dei reciproci dei quadraticubiquarte potenze ecc di tutti i numeri naturali geq sommano a .
Dimostra che displaystyle _m^infty _n^infty :m^-n
Solution:
Abbiamo che la serie erna è una PG di ragione fracm e termine iniziale fracm^ dunque si ottiene che _n^inftym^-n_n^inftyleftfracmright^nfracm^ frac-fracmfracm^-mfracmm-fracm--fracm. Ora la somma esterna diventa una somma telescopica: _m^infty _n^infty m^-n_m^inftyfracm--fracmfrac-frac+frac-frac+frac-fracs textbfOsservazione: se si ercambiano gli ordini delle somme il risultato diventa particolarmente affascinante: stiamo dico che le somme dei reciproci dei quadraticubiquarte potenze ecc di tutti i numeri naturali geq sommano a .