Exercise:
Considera le seguenti funzioni complesse: fziz-+iqquad gzfrac-izqquad hzfraci-z+z abclist abc Descrivi fgh come composizione di trasformazioni geometriche abc Descrivi gli insiemi Aleft|z-|leq right quad BleftReizRe-iz+rightquad Cleft|argz|fracpi land |z|right abc Descrivi le immagini di questi tre insiemi sotto le funzioni f e g senza h! abclist

Solution:
abclist abc In ordine abbiamo che itemize itemfz Rotodilazione fattore angolo ^circ seguita da traslazione di -+i itemgz Inversione circolare seguita da rotazione di ^circ e infine riflessione rispetto all'asse x itemhz riscriviamo la funzione come fraci-z+zfrac+i+z- Dunque: traslazione di + seguita da inversione circolare riflessione al'asse x poi rotodilazione per +i fattore sqrt angolo arctan/ e infine traslazione di - itemize abc In ordine abbiamo che itemize itemA Disco di raggio centrato in z_ itemB -yx+y+iff x+y+ dunque una retta. itemC L'arco di circonferenza di raggio centrato nell'origine con angoli che vanno da -^circ a ^circ non inclusi. itemize abc Siccome f è una rotodilazione seguita da una traslazione mantiene cerchi e rette otteniamo così itemize itemfA il raggio raddoppia a r e il centro si ottiene l'immagine del centro ossia f-+i. Dunque otteniamo il disco |z+-i|leq . itemfB priamo due punti z_-equiv -i e z_-equiv -i e calcoliamo le loro immagini: fz_+i e fz_+i. La retta passante per questi è dunque yx itemfC la rotodilazione iz fa sì che si ottiene l'arco di cerchio nell'origine di raggio da ^circ a ^circ. La traslazione sposta il tutto così che l'arco sia centrato in -+i itemize Siccome g contiene un'inversione è più complessa itemize itemgACirconferenza di centro equiv i e raggio sqrt itemgBCirconferenza di centro .equiv frac+i e raggio fracsqrt itemgCL'arco di circonferenza centrata nell'origine di raggio ma con argomenti da ^circ a ^circ. itemize abclist