Funzioni e trasformazioni 6
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Exercise:
Considera le seguenti funzioni complesse fz+izqquad gzz+-iqquad hzfracibarzqquad jzfracbarz+-barz abclist abc Descrivi le quattro funzioni come sequenza di trasformazioni geometriche del piano complesso footnoteTraslazioni Dilazioni Rotazioni Riflessioni e inversioni abc Descrivi ora gli insiemi A bigzmid Rezgeq bigquad Bzmid |z-+i| quad Czmid ReibarzImz^ abc Determina le immagini di questi insiemi sotto le prime funzioni. abclist
Solution:
abclist abc Abbiamo che itemize abc fz è la composizione di una rotazione di ^circ attorno all'origine in senso antiorario con una dilazione di sempre centrata nell'origine. abc gz è una dilazione di nell'orgine e poi una traslazione di -i. abc hz è un'inversione rispetto al cerchio unitario composta con una rotazione di ^circ in senso antiorario. abc possiamo riscrivere jzfrac-barz- dunque si può ottenre con una composizione di: una rotazione di ^circ una traslazione verso destra di un'inversione circolare una dilazione per e una traslazione verso sinistra di . itemize abc Gli insiemi sono: itemize abc Il I e IV quadrante inclusi i bordi. abc Circonferenza centrata in M-i e di raggio abc Riscriviamo l'equazione come yxy dunque si tratta della doppia retta y x/. itemize abc Facciamo agire le tre funzioni sui tre insiemi: itemize abc Siccome f è una rotodilazione attorno all'origine avremo che fA mappa il semipiano -^circleq argzleq ^circ in -^circleq argzleq ^circ abc fB sarà nuovamente una circonferenza. Il raggio verrà riscalato a mentre il centro finirà in f-i+i abc Le due rette verranno itemize abclist
Considera le seguenti funzioni complesse fz+izqquad gzz+-iqquad hzfracibarzqquad jzfracbarz+-barz abclist abc Descrivi le quattro funzioni come sequenza di trasformazioni geometriche del piano complesso footnoteTraslazioni Dilazioni Rotazioni Riflessioni e inversioni abc Descrivi ora gli insiemi A bigzmid Rezgeq bigquad Bzmid |z-+i| quad Czmid ReibarzImz^ abc Determina le immagini di questi insiemi sotto le prime funzioni. abclist
Solution:
abclist abc Abbiamo che itemize abc fz è la composizione di una rotazione di ^circ attorno all'origine in senso antiorario con una dilazione di sempre centrata nell'origine. abc gz è una dilazione di nell'orgine e poi una traslazione di -i. abc hz è un'inversione rispetto al cerchio unitario composta con una rotazione di ^circ in senso antiorario. abc possiamo riscrivere jzfrac-barz- dunque si può ottenre con una composizione di: una rotazione di ^circ una traslazione verso destra di un'inversione circolare una dilazione per e una traslazione verso sinistra di . itemize abc Gli insiemi sono: itemize abc Il I e IV quadrante inclusi i bordi. abc Circonferenza centrata in M-i e di raggio abc Riscriviamo l'equazione come yxy dunque si tratta della doppia retta y x/. itemize abc Facciamo agire le tre funzioni sui tre insiemi: itemize abc Siccome f è una rotodilazione attorno all'origine avremo che fA mappa il semipiano -^circleq argzleq ^circ in -^circleq argzleq ^circ abc fB sarà nuovamente una circonferenza. Il raggio verrà riscalato a mentre il centro finirà in f-i+i abc Le due rette verranno itemize abclist