Exercise:
Il triangolo di Sierpi'nsky è una speciale figura frattale che viene generata in modo ricorsivo seguo una serie di regole i cui primi passaggi danno luce alla seguente sequenza di figure usetikzlibrarylindenmayersystems pgfdeclarelindenmayersystemSierpinski triangle symbolGpgflsystemdrawforward ruleF -F-G+F+G-F ruleG - GG deftrianglewidth.cm foreach level in ... nprvminipage.linewidth center tikzpicture drawfillblack! -- ++:trianglewidth -- ++:trianglewidth -- cycle; drawdrawblackfillwhite l-system l-systemSierpinski trianglesteptrianglewidth/^level angl axiomF orderlevel; tikzpicture nlevel minipage A parole: parto da un triangolo equilatero al primo passaggio si rimuove un triangolo capovolto centrale. Dopodiché di passo in passo si ripete il processo per ogni triangolo equilatero presente nella figura infinite volte. abclist abc Pono l'area del primo triangolo pari a calcola le aree delle superfici oscurate nelle prime quattro figure. Dopodiché trova una formula per determinare la superficie oscurata della figura dopo n passaggi. abc Pono il lato del primo triangolo pari a calcola il perimetro totale delle prime quattro figure. Dopodiché trova una formula per il perimetro totale della figura dopo n passaggi. abclist

Solution:
abclist abc Siccome ad ogni passaggio l'area oscurata viene ridotta di / abbiamo che S_bigtriangleupnfracS_bigtriangleupn- e dunque si tratta di una progressione geometrica con ragione frac. La formula esplicita siccome il primo triangolo ha area è S_bigtriangleupnleftfracright^n e quindi all'infinito la figura avrà superficie zero. abc Il perimetro totale della figura è pari al numero di triangolini per il perimetro di ognuno. Il numero di triangolini triplica di volta in volta dunque è ^n. Il lato di ogni dei triangolini dimezza di volta in volta dunque leftfracright^n e infine ogni triangolino ha lati. Quindi in totale abbiamo un perimetro pari a P_bigtriangleupn leftfracright^n ^n leftfracright^n. Di conseguenza il perimetro all'infinito sarà ``infinito''. Si tratta dunque di una figura con area zero e perimetro infinito. abclist