Exercise:
labeles Considera un punto x_y_ sull'ellisse di equazione fracx^a^+fracy^b^. Trova l'equazione della retta tangente all'ellisse. textbfConsiglio: poni la retta tangente nella forma mx+ny-mx_+ny_ e ricorda che una tangente tocca un luogo geometrico in esattamente un punto. textbfLa risoluzione è molto calcolosa!.

Solution:
Come recita Wikipedia footnoteurlhttps://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Tangent data un'ellisse di equazione fracx^a^+fracy^b^ ossia orizzontale e centrata nell'origine il caso più semplice per i calcoli ed un punto x_y_ su di essa l'equazione parametrica della retta tangente all'ellisse e passante per il punto x_y_ è data da t:pmatrix x y pmatrixpmatrix x_ y_ pmatrix+lambda pmatrix -y_ a^ x_b^ pmatrix Per la dimostrazione usiamo che fracx_^a^+fracy_^b^ e che la retta deve avere la forma cartesiana ymx-x_+y_: cerchiamo i punti di eresezione di ellisse e retta insero l'equazione di una nell'altra: fracx^a^+fracmx-x_+y_^b^ Sviluppando il prodotto otteniamo leftfraca^+fracm^b^rightx^+fracmy_-mx_b^x+leftfrac-mx_+y_^b^-right. Ma siccome fracx_^a^+fracy_^b^ possiamo riscrivere l'ultimo coefficiente come frac-mx_+y_^b^-fracx_^a^+fracy_^b^fracmx_mx_-y_b^-fracx_^a^ L'equazione ha un'unica soluzione se e solo se il delta è zero: leftfracmy_-mx_b^right^- leftfraca^+fracm^b^right leftfracmx_mx_-y_b^-fracx_^a^right L'espressione sembra incredibilmente difficile ma fortunatamente si semplifica molto: se collezioniamo tutti i termini con fracb^ otteniamo leftfracmy_-mx_b^right^- fracm^b^ fracmx_mx_-y_b^fracm^y_^b^ Adesso collezioniamo quelli con fraca^b^ - fraca^ fracmx_mx_-y_b^- fracm^b^ left-fracx_^a^rightfracmx_y_a^b^ ed infine quello con fraca^ è fracx_^a^. Rimettoli tutti insieme dobbiamo risolvere fracm^y_^b^+fracmx_y_a^b^+fracx_^a^ ossia fraca^b^leftfraca^b^m^y_^+mx_y_+fracb^a^x_^ right che si può fortunatmente riscrivere è un prodotto notevole! fraca^b^leftfracabmy_+fracbax_right^ che ha come unica soluzione m-fracfracbax_fracaby_-fracx_b^y_a^. textbfCommento: la dimostrazione è semplicemente lunga e molto calcolosa ma non difficile. Ovvimente sarebbe stato più facile partire dalla soluzione e verificare che è vero.