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Exercise:
Dimostra che data una quadrica di equazione Ax^+By^+Cxy+Dx+Ey+F il centro si otteniene dall'eresezione delle rette cases Ax+Cy+D By+Cx+E cases e poi determina una formula diretta per x e y

Solution:
Siccome le coniche hanno delle simmetrie puntuali rispetto al loro centro anche i punti in cui le derivate direzionali sono identiche si troveranno in punti simmetrici. Ora osserviamo che le due equazioni non sono altro che i punti speciali in cui le derivate parziali fracpartialpartial x e fracpartialpartial y dell'equazione sono nulle ossia le derivate direzionali che geometricamente corrispondono ai punti rispettivamente più in alto e più in basso come pure più a sinistra e più a destra della conica. Per esempio fracpartialAx^+By^+Cxy+Dx+Ey+Fpartial xAx+Cy+D A questo punto risolviamo il sistema matricialmente: * pmatrix A & C C & B pmatrix pmatrix x y pmatrix pmatrix -D -E pmatrixiff pmatrix x y pmatrix fracAB-C^pmatrix B & -C -C & A pmatrixpmatrix D E pmatrix fracAB-C^pmatrix BD-CE AE-CD pmatrix * e notiamo in particolare che il sistema fornisce una soluzione salvo se Delta AB-fracC^ che come sappiamo è proprio il caso in cui abbiamo una parabola.
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Exercise:
Dimostra che data una quadrica di equazione Ax^+By^+Cxy+Dx+Ey+F il centro si otteniene dall'eresezione delle rette cases Ax+Cy+D By+Cx+E cases e poi determina una formula diretta per x e y

Solution:
Siccome le coniche hanno delle simmetrie puntuali rispetto al loro centro anche i punti in cui le derivate direzionali sono identiche si troveranno in punti simmetrici. Ora osserviamo che le due equazioni non sono altro che i punti speciali in cui le derivate parziali fracpartialpartial x e fracpartialpartial y dell'equazione sono nulle ossia le derivate direzionali che geometricamente corrispondono ai punti rispettivamente più in alto e più in basso come pure più a sinistra e più a destra della conica. Per esempio fracpartialAx^+By^+Cxy+Dx+Ey+Fpartial xAx+Cy+D A questo punto risolviamo il sistema matricialmente: * pmatrix A & C C & B pmatrix pmatrix x y pmatrix pmatrix -D -E pmatrixiff pmatrix x y pmatrix fracAB-C^pmatrix B & -C -C & A pmatrixpmatrix D E pmatrix fracAB-C^pmatrix BD-CE AE-CD pmatrix * e notiamo in particolare che il sistema fornisce una soluzione salvo se Delta AB-fracC^ che come sappiamo è proprio il caso in cui abbiamo una parabola.
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Attributes & Decorations
Tags
Coniche, Vari
Difficulty
(5, default)
Points
0 (default)
Language
ITA (Italiano)
Type
Both
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