Exercise:
nprvminipagec.textwidth textbfProprietà tangenziali Nell'esercizio refes abbiamo visto che data un'ellisse orizzontale centrata nell'origine leftfracx^a^+fracy^b^right ed un punto x_y_ su di essa l'equazione parametrica della retta tangente all'ellisse e passante per il punto x_y_ è data da t:pmatrix x y pmatrixpmatrix x_ y_ pmatrix+lambda pmatrix -y_ a^ x_b^ pmatrix minipage minipagec.textwidth center tikzpicture tkzDefPos//E /./F .//G -././H -.//J draw ellipse and ; scope clip - rectangle .; draw -- -..; scope draw -. --. -- .; fill -. circle .pt nodebelow F_; fill . circle .pt nodebelow F_; fill . circle pt nodeabove x_y_; tkzMarkAnglesize.fillblackfill opacity.GFE tkzLabelAnglepos.GFEalpha tkzMarkAnglesize.fillblackfill opacity.HFJ tkzLabelAnglepos-.JFHalpha tikzpicture center minipage abclist abc Utilizzando questa informazione dimostra che una tangente ad un'ellisse forma angoli congruenti con le rette passanti per il punto di tangenza ed i due fuochi abc Che cosa succede di particolare se si gioca a biliardo su di un tavolo ellittico? abclist

Solution:
Come prima cosa riscriviamo l'equazione dell'ellisse come segue b^x^+a^y^a^b^ e poi con la sostituzione b^a^-c^ a^-c^x^+a^y^a^a^-c^ e infine a^x^+y^+c^c^x^+a^ che può essere riscritta labeleqx^+y^+c^fracc^x^+a^a^ Quello che vogliamo mostrare è che fracvecdoverrightarrowPF_|vecd| |overrightarrowPF_|frac-vecdoverrightarrowPF_|vecd| |overrightarrowPF_| ossia |overrightarrowPF_|vecdoverrightarrowPF_-|overrightarrowPF_|vecdoverrightarrowPF_. abbiamo che vecdpmatrix -y_a^x_b^ pmatrixpmatrix -y_a^x_a^-c^ pmatrix e overrightarrowPF_pmatrix -c-x_-y_ pmatrixquad overrightarrowPF_pmatrix c-x_-y_ pmatrix da cui si ottiene -|overrightarrowPF_|vecd-c-x_-y_a^-y_x_a^-c^--cy_a^+y_x_c^y_ca^-cx_ e in modo completamente analogo |overrightarrowPF_|vecdy_ca^+cx_ per quanto riguarda le norme ci accorgiamo invece che * |overrightarrowPF_|sqrtc+x_^+y_^ sqrtc^+x_^+y_^+cx_ sqrtc^+x_^+y_^+cx_ &oversetrefeqsqrtfracc^x_^+a^a^+cx_ & fracasqrtc^x_^+cx_a^+a^ & textprodotto notevole! & fracasqrta^+cx_^ * e in modo completamente analogo |overrightarrowPF_|fracasqrta^-cx_^. Metto insieme questi calcoli possiamo riscrivere l'equazione |overrightarrowPF_|vecdoverrightarrowPF_-|overrightarrowPF_|vecdoverrightarrowPF_ come cancelfracasqrta^-cx_^ cancely_ca^+cx_cancelfracasqrta^+cx_^ cancely_ca^-cx_ la quale si può ulteriormente semplificare a^pm cx_ a^-cx_ a^+cx_a^+cx_ a^-cx_ che ovviamente è corretta. In realtà da questo calcolo otteniamo addirittura direttamente la formula per l'angolo cosalphaa^-c^x_^oversetrefeqa^x_^+y_^+c^.