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Exercise:
footnoteEsercizio tecnico Dimostra che l'eccentricità di una quadrica in forma canonica Ax^+Bx+Cy^+Dy+E può essere calcolata tramite esqrtfrac|A-C|eta A+C+|A-C| dove eta vale o o -.

Solution:
Parto dalla quadrica nella forma Ax^+Bx+Cy^+Dy+E possiamo fare un completamento del quadrato generale otteno Aleftx+fracBAright^+Clefty+fracDCright^fracB^A+fracD^C-EfracB^C+AD^-ACEAC:F da cui identifichiamo a^left|fracFAright| e b^left|fracFCright| ed infine left|fracCAright|fraca^b^. Ora dividiamo l'espressione data a numeratore e denominatore per C così da ottenere sqrtfrac|-C/A|eta +C/A+|-C/A|. Ora se siamo nel caso di un'iperbole A C e quindi left|-fracCAright|left|+fraca^b^right|frac|a^+b^|b^fracc^b^ mentre +fracCA-fraca^b^fracc^-a^b^ e quindi moltiplicando numeratore e denominatore per b^ e pono eta - otteniamo sqrtfracc^- c^-a^+c^sqrtfracc^a^fraccae. Analogamente nel caso dell'ellissi A C e quindi left|-fracCAright|left|-fraca^b^right|frac|b^-a^|b^fracc^b^ mentre +fracCA+fraca^b^fraca^-c^b^ e quindi moltiplicando numeratore e denominatore per b^ e pono eta otteniamo sqrtfracc^a^-c^+c^sqrtfracc^a^fraccae.
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footnoteEsercizio tecnico Dimostra che l'eccentricità di una quadrica in forma canonica Ax^+Bx+Cy^+Dy+E può essere calcolata tramite esqrtfrac|A-C|eta A+C+|A-C| dove eta vale o o -.

Solution:
Parto dalla quadrica nella forma Ax^+Bx+Cy^+Dy+E possiamo fare un completamento del quadrato generale otteno Aleftx+fracBAright^+Clefty+fracDCright^fracB^A+fracD^C-EfracB^C+AD^-ACEAC:F da cui identifichiamo a^left|fracFAright| e b^left|fracFCright| ed infine left|fracCAright|fraca^b^. Ora dividiamo l'espressione data a numeratore e denominatore per C così da ottenere sqrtfrac|-C/A|eta +C/A+|-C/A|. Ora se siamo nel caso di un'iperbole A C e quindi left|-fracCAright|left|+fraca^b^right|frac|a^+b^|b^fracc^b^ mentre +fracCA-fraca^b^fracc^-a^b^ e quindi moltiplicando numeratore e denominatore per b^ e pono eta - otteniamo sqrtfracc^- c^-a^+c^sqrtfracc^a^fraccae. Analogamente nel caso dell'ellissi A C e quindi left|-fracCAright|left|-fraca^b^right|frac|b^-a^|b^fracc^b^ mentre +fracCA+fraca^b^fraca^-c^b^ e quindi moltiplicando numeratore e denominatore per b^ e pono eta otteniamo sqrtfracc^a^-c^+c^sqrtfracc^a^fraccae.
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Attributes & Decorations
Tags
Coniche, Equazione cartesiana
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
ITA (Italiano)
Type
Proof
Decoration
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