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Exercise:
footnoteN. Rusca I fuochi dell'ellisse di equazione x^+y^ sono gli estremi di una diagonale di un rettangolo. Gli altri estremi si trovano sull'ellisse. Determina l'area del rettangolo.

Solution:
Notiamo che i fuochi sono in F_pmpm. Siccome il segmento tra essi deve formare la diagonale del rettangolo stiamo cercando un punto Pxy sull'ellisse che formi con i fuochi un angolo retto. Sfruttando il prodotto scalare abbiamo dunque che overrightarrowPF_+ overrightarrowPF_-iff pmatrix x-y pmatrix pmatrix x+y pmatrixiff x-x++y^ iff x^+y^. footnoteche equivale alla circonferenza con il segmento dei fuochi come diametro. Ora cerchiamo i punti d'ersezione con l'ellisse tramite il sistema: * cases x^+y^ x^+y^ casescases x^+y^ y^ casescases xpm sqrt ypm cases. * Da ultimo possiamo calcolare l'area del rettangolo sfruttando che il triangolo tra i fuochi e uno dei vertici ha lato tra i fuochi e altezza pari alla y del rimanente vertice ossia . Dunque l'area totale del rettangolo è mathcalA frac
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footnoteN. Rusca I fuochi dell'ellisse di equazione x^+y^ sono gli estremi di una diagonale di un rettangolo. Gli altri estremi si trovano sull'ellisse. Determina l'area del rettangolo.

Solution:
Notiamo che i fuochi sono in F_pmpm. Siccome il segmento tra essi deve formare la diagonale del rettangolo stiamo cercando un punto Pxy sull'ellisse che formi con i fuochi un angolo retto. Sfruttando il prodotto scalare abbiamo dunque che overrightarrowPF_+ overrightarrowPF_-iff pmatrix x-y pmatrix pmatrix x+y pmatrixiff x-x++y^ iff x^+y^. footnoteche equivale alla circonferenza con il segmento dei fuochi come diametro. Ora cerchiamo i punti d'ersezione con l'ellisse tramite il sistema: * cases x^+y^ x^+y^ casescases x^+y^ y^ casescases xpm sqrt ypm cases. * Da ultimo possiamo calcolare l'area del rettangolo sfruttando che il triangolo tra i fuochi e uno dei vertici ha lato tra i fuochi e altezza pari alla y del rimanente vertice ossia . Dunque l'area totale del rettangolo è mathcalA frac
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Tags
Coniche, Vari
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
ITA (Italiano)
Type
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