Exercise:
textbfUlteriori esercizi sulle coniche abclist abc Un'iperbole con i vertici in A e B- passa per il punto P . enumeratelabelroman* item Determina l'equazione cartesiana dell'iperbole e rappresentala graficamente. item Qual è l'angolo tra le rette asotiche dell'iperbole? item Determina il raggio della circonferenza con centro M che è tangente all'iperbole. enumerate abc Classifica le seguenti quadriche determinando se si tratta di circonferenze parabole ellissi iperboli o oggetti degeneri doppie rette/insieme vuoto. Dopodiché determina i loro parametri abc o p i loro centri e la loro eccentricità. x^-x-y^+y+ x^-x+y^+y- x^-y^-y- x^+x-y^+y- x+^-y-^x-^+y-^ x^+x+y^-y+ abc È data la parabola mathcalP di equazione y^ x. Determina la retta r tale che il segmento che collega i punti d'ersezione di r e mathcalP ha M - come punto medio. abclist

Solution:
abclist abc enumeratelabelroman* item Leggiamo che a e siccome passa dal punto possiamo impostare l'equazione per b frac^^-frac^b^iff b^ dunque l'equazione è fracx^-fracy^. e siccome csqrta^+b^ e gli asoti sono ypmfracsqrtx possiamo fare uno schizzo center tikzpicturescale. axisx.cmy.cm axis linesmiddle enlargelimitsfalse axis line styleshorten -pt shorten -pt xlabel styleanchorwest atticklabel* cs:. xshiftpt ylabel styleanchorsouth atticklabel* cs:. yshiftpt xlabel Re ylabel Im xmin- xmax ymin- ymax ytick--... xtick--... minor x tick num minor y tick num minor grid styleblack! major grid styleblack! grid yminorgrids xminorgrids major tick lengthpt every tick/.style semithick draw variabletsamplesdomain-:shift-- plot *sect.*tant; draw variabletsamplesdomain-:shift-- plot -*sect.*tant; drawdashed -. -- -.; drawdashed --. -- .; drawline widthpt --. rectangle .; axis tikzpicture center item Siccome le penze sono rispettivamente pmfracba otteniamo thetaarctanb/a-arctan-b/aarctanb/aarctanleftfracsqrtrightcong .^circ item Affinché la circonferenza sia tangente il sistema di equazioni casesfracx^-fracy^ x^+y-^r^ casescasesx^+fracy^ x^+y-^r^ cases deve avere una sola soluzione per r^ e per y. Sostituo la prima nella seconda otteniamo +fracy^+y-^r^iff y^-y+-r^ e per avere una sola soluzione Delta ossia ^- -r^iff r fracsqrt. enumerate abc Completiamo i quadrati nelle varie equazioni setcounter x^-x-y^+y+&iff leftx-right^-lefty-fracright^frac- x^-x+y^+y-&iff leftx-fracright^+lefty+right^frac x^-y^-y-&iff x^-lefty+right^ x^+x-y^+y- &iff x+^-y-^ x+^-y-^x-^+y-^ &iff xfracy-^ x^+x+y^-y+ &iff leftx + right^ + lefty - fracright^ -frac. Possiamo farne una tabella riassuntiva arrayc | c c c c c c c & texttipo & a & b & c & r & textcentro & textforma hline & textiperbole & frac & frac & fracsqrt & & C/ & asymp & textellisse& fracsqrt & fracsqrt & fracsqrt& & C/- & & textiperbole& fracsqrt & sqrt &fracsqrt & & C- & & textdoppia retta& & & && -& textttX & textparabola& frac& & &frac- & V F/ & subset & textinsieme vuoto array abc Creiamo una retta con parametro a passante per M: xay++ Le ersezioni di questa retta con la parabola sono date da y^ ay++iff y^-ay-a- e siccome la somma delle soluzioni è il negativo del coefficiente di y formule di Viéta e la media delle y è - otteniamo a-iff a-frac dunque i punti d'ersezione sono y^+y-iff y-pmsqrt implies xmpfracsqrt+ abclist